eClass ΕΚΠΑ | Γραμμική Άλγεβρα

Όνομα	Μέγεθος	Ημερομηνία
1. Λύσεις στις ενδεικτικές ασκήσεις των πρώτων 6 διαλέξεων ΠΡΟΣΟΧΗ: Για το πρόβλημα 6 κοιτάξτε απευθείας σελίδα 11, αγνοώντας το κάτω κομμάτι της σελίδας 10 (εώς ότου διορθωθεί). Στο 5β) έχουμε ξεχάσει να κάνουμε τις προσθέσεις: το τελικό αποτέλεσμα είναι [5,1,-9]. Προσοχή επίσης ότι στο τελευταίο ερώτημα της πρώτης άσκησης τα a_3,a_4 ΔΕΝ είναι οι στήλες του πίνακα, αλλά τα διανύσματα που βρέθηκαν στο ερώτημα ζ, τα [-3,-2,-1,0] και [1,1,0,1].	2.32 MB	31/3/24, 11:37 μ.μ.
1. Προβλήματα στις 6 πρώτες διαλέξεις Ιδιαίτερη έμφαση στα 1,3,4,5,6	118.2 KB	31/3/24, 11:38 μ.μ.
2. Δεύτερη Σειρά Ασκήσεων Με έμφαση στις 1,2,3,6.	108.54 KB	31/3/24, 11:37 μ.μ.
2. Λύσεις δεύτερης σειράς ενδεικτικών ασκήσεων Στην πρώτη σειρά στο β ερώτημα μπορούμε να πούμε απευθείας το εξής: εφόσον ο \(Α\) έχει περισσότερες στήλες από γραμμές, αυτές θα είναι γραμμικώς εξαρτημένες, το οποίο σημαίνει ότι υπάρχει μη μηδενικό \(x\) ώστε \(Ax = 0 \) . Άρα και \(CA x = 0 \) άρα δεν γίνεται να είναι αντιστρέψιμος ο \(CA \). Με άλλα λόγια, οποιαδήποτε γραμμική σχέση μεταξύ των στηλών του \(Α\) δίνει την ίδια γραμμική σχέση μεταξύ των στηλών του \(CA\).	4.24 MB	31/3/24, 11:37 μ.μ.
3. Λύσεις τρίτης σειράς ασκήσεων	192.93 KB	31/3/24, 11:37 μ.μ.
3. Τρίτη Σειρά Ασκήσεων	89.41 KB	31/3/24, 11:38 μ.μ.
Παραδείγματα Επίλυσης Συστημάτων με Ανηγμένη Κλιμακωτή Μορφή	138.94 KB	9/10/23, 5:19 μ.μ.
Φροντιστήριο 1 Στην πρώτη άσκηση ψάχνουμε να βρούμε αν το διάνυσμα β μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός των άλλων τριών δοθέντων διανυσμάτων. Στη δεύτερη άσκηση θέλουμε να λύσουμε το σύστημα με τον δοθέντα επαυξημένο πίνακα ή ισοδύναμα να βρούμε τους συντελεστές που πρέπει να βάλουμε στα 5 διανύσματα που αποτελούν στήλες του πίνακα συντελεστών έτσι ώστε να φτιάξουμε το διάνυσμα των σταθερών όρων (τελευταία στήλη).	1.2 MB	10/10/24, 6:12 μ.μ.
Φροντιστήριο 2 Στην τελευταία άσκηση επειδή έχουμε μία ελεύθερη μεταβλητή βρίσκουμε ότι το σύνολο λύσεων του συστήματος είναι η γραμμική θήκη ενός διανύσματος, εν προκειμένη του [1,-1,0,2,1]. Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι συντελεστές c1, c2, c3, c4, c5 για τους οποίους έχουμε μια γραφή του μηδενικού διανύσματος ως c1 * v1 + c2 * v2 + c3 * v3 + c4 * v4 + c5 * v5 είναι -όταν τους δούμε σαν διάνυσμα [c1, c2, c3, c4, c5]- στη γραμμική θήκη του [1,-1,0,2,1]. Αντίστροφα, κάθε [c1,c,2,c3,c4,c5] που είναι στη γραμμική θήκη του εν λόγω διανύσματος δίνει μια άλλη γραφή του μηδενικού διανύσματος, δηλαδή c1 * v1 + c2 * v2 + c3 * v3 + c4 * v4 + c5 * v5 = το μηδενικό διάνυσμα.	1.22 MB	10/10/24, 6:12 μ.μ.
Φροντιστήριο 3	25.18 MB	4/11/23, 10:06 π.μ.
Φροντιστήριο 4 Στην τελευταία άσκηση καταλήγουμε μέσω ισοδυναμιών σε κάτι που ισχύει \(A^3 - I = A^3- I) και στις δύο περιπτώσεις, άρα ισχύει και το αρχικό (εφόσον ισοδυναμίες σημαίνει ότι μπορεί να κάνουμε και τις πράξεις ανάποδα).	1.67 MB	8/11/23, 4:31 μ.μ.
Φροντιστήριο 5	4.08 MB	10/11/23, 7:46 μ.μ.
Φροντιστήριο 6	4.33 MB	1/12/23, 4:09 μ.μ.
Φροντιστήριο 7	1.11 MB	1/12/23, 4:09 μ.μ.

1. Λύσεις στις ενδεικτικές ασκήσεις των πρώτων 6 διαλέξεων

ΠΡΟΣΟΧΗ: Για το πρόβλημα 6 κοιτάξτε απευθείας σελίδα 11, αγνοώντας το κάτω κομμάτι της σελίδας 10 (εώς ότου διορθωθεί). Στο 5β) έχουμε ξεχάσει να κάνουμε τις προσθέσεις: το τελικό αποτέλεσμα είναι [5,1,-9]. Προσοχή επίσης ότι στο τελευταίο ερώτημα της πρώτης άσκησης τα a_3,a_4 ΔΕΝ είναι οι στήλες του πίνακα, αλλά τα διανύσματα που βρέθηκαν στο ερώτημα ζ, τα [-3,-2,-1,0] και [1,1,0,1].

2.32 MB

31/3/24, 11:37 μ.μ.

1. Προβλήματα στις 6 πρώτες διαλέξεις

Ιδιαίτερη έμφαση στα 1,3,4,5,6

118.2 KB

31/3/24, 11:38 μ.μ.

2. Δεύτερη Σειρά Ασκήσεων

Με έμφαση στις 1,2,3,6.

108.54 KB

31/3/24, 11:37 μ.μ.

2. Λύσεις δεύτερης σειράς ενδεικτικών ασκήσεων

Στην πρώτη σειρά στο β ερώτημα μπορούμε να πούμε απευθείας το εξής: εφόσον ο \(Α\) έχει περισσότερες στήλες από γραμμές, αυτές θα είναι γραμμικώς εξαρτημένες, το οποίο σημαίνει ότι υπάρχει μη μηδενικό \(x\) ώστε \(Ax = 0 \) . Άρα και \(CA x = 0 \) άρα δεν γίνεται να είναι αντιστρέψιμος ο \(CA \). Με άλλα λόγια, οποιαδήποτε γραμμική σχέση μεταξύ των στηλών του \(Α\) δίνει την ίδια γραμμική σχέση μεταξύ των στηλών του \(CA\).

4.24 MB

31/3/24, 11:37 μ.μ.

3. Λύσεις τρίτης σειράς ασκήσεων

192.93 KB

31/3/24, 11:37 μ.μ.

3. Τρίτη Σειρά Ασκήσεων

89.41 KB

31/3/24, 11:38 μ.μ.

Παραδείγματα Επίλυσης Συστημάτων με Ανηγμένη Κλιμακωτή Μορφή

138.94 KB

9/10/23, 5:19 μ.μ.

Φροντιστήριο 1

Στην πρώτη άσκηση ψάχνουμε να βρούμε αν το διάνυσμα β μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός των άλλων τριών δοθέντων διανυσμάτων. Στη δεύτερη άσκηση θέλουμε να λύσουμε το σύστημα με τον δοθέντα επαυξημένο πίνακα ή ισοδύναμα να βρούμε τους συντελεστές που πρέπει να βάλουμε στα 5 διανύσματα που αποτελούν στήλες του πίνακα συντελεστών έτσι ώστε να φτιάξουμε το διάνυσμα των σταθερών όρων (τελευταία στήλη).

1.2 MB

10/10/24, 6:12 μ.μ.

Φροντιστήριο 2

Στην τελευταία άσκηση επειδή έχουμε μία ελεύθερη μεταβλητή βρίσκουμε ότι το σύνολο λύσεων του συστήματος είναι η γραμμική θήκη ενός διανύσματος, εν προκειμένη του [1,-1,0,2,1]. Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι συντελεστές c1, c2, c3, c4, c5 για τους οποίους έχουμε μια γραφή του μηδενικού διανύσματος ως c1 * v1 + c2 * v2 + c3 * v3 + c4 * v4 + c5 * v5 είναι -όταν τους δούμε σαν διάνυσμα [c1, c2, c3, c4, c5]- στη γραμμική θήκη του [1,-1,0,2,1]. Αντίστροφα, κάθε [c1,c,2,c3,c4,c5] που είναι στη γραμμική θήκη του εν λόγω διανύσματος δίνει μια άλλη γραφή του μηδενικού διανύσματος, δηλαδή c1 * v1 + c2 * v2 + c3 * v3 + c4 * v4 + c5 * v5 = το μηδενικό διάνυσμα.

1.22 MB

10/10/24, 6:12 μ.μ.

Φροντιστήριο 3

25.18 MB

4/11/23, 10:06 π.μ.

Φροντιστήριο 4

Στην τελευταία άσκηση καταλήγουμε μέσω ισοδυναμιών σε κάτι που ισχύει \(A^3 - I = A^3- I) και στις δύο περιπτώσεις, άρα ισχύει και το αρχικό (εφόσον ισοδυναμίες σημαίνει ότι μπορεί να κάνουμε και τις πράξεις ανάποδα).

1.67 MB

8/11/23, 4:31 μ.μ.

Φροντιστήριο 5

4.08 MB

10/11/23, 7:46 μ.μ.

Φροντιστήριο 6

4.33 MB

1/12/23, 4:09 μ.μ.

Φροντιστήριο 7

1.11 MB

1/12/23, 4:09 μ.μ.

Μάθημα : Γραμμική Άλγεβρα

Κωδικός : DI583

Γραμμική Άλγεβρα