Γραμμική Άλγεβρα Ι Εαρινό 2023 (Τμήμα Κοντογεώργη)

• Η έννοια του διανυσματικού χώρου, ιδιότητες παραδείγματα
• Ορισμός διανυσματικού υπόχωρου
• Παραδείγματα υπόχωρων, οι λύσεις του ομογενούς συστήματος.
• Η τομή διανυσματικών υπόχωρων είναι πάντα διανυσματικός υπόχωρος, ενώ η ένωση είναι υπόχωρος αν και μόνο αν ο ένας χώρος περιέχεται στον άλλο. 

Σημειώσεις Μαθήματος 15/3/2023

• Απόδειξη ότι \(D(A)=D(A^t).\)
• Ορίζουσα άνω και κάτω τριγωνικού πίνακα.
• Υπολογισμός ορίζουσας με την την μέθοδο απαλοιφής του Gauss. 
• Απόδειξη ότι \( \mathrm{adj}(A)\cdot A = \mathrm{det}(A) \mathbb{I}_n\)
• Επίλυση γραμμικών συστημάτων με την μέθοδο του Crammer

Σημειώσεις μαθήματος  12/3/2023

• Απόδειξη ότι οι  συναρτήσεις \(f_j = \sum_{\nu=1}^n (-1)^{\nu+j} a_{\nu,j} D( A_{\nu, j}) \) ικανοποιούν τις ιδιότητες της ορίζουσας
• Μοναδικότητα της ορίζουσας
• Απόδειξη του \(D(A)=\sum_{\sigma \in S_n}  (-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)} a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} \cdots a_{n,\sigma(n)}. \)
• Εφαρμογή του τύπου σε \(2\times 2\) και \(3 \times 3\) ορίζουσες.  
  
  

Σημειώσεις Μαθήματος 10 Μαρτίου 2023

• Επίλυση Ασκήσεων

• Επίλυση ασκήσεων 
• Αν ο \(n\times n\) πίνακας \(A\) ικανοποιεί \(ΑΒ=ΒΑ\) για κάθε \(n\times n\) πίνακα \(B\), τότε \(A= \lambda \mathbb{I}_n\).
• Η συνάρτηση ορίζουσας και οι ιδιότητες της
• Οι αναδρομικές συναρτήσεις \(f_j = \sum_{\nu=1}^n (-1)^{\nu+j} a_{\nu,j} D( A_{\nu, j}) \). 

Σημειώσεις μαθήματος 1/3/2023

• Υπολογισμός αντιστρόφου πίνακα, παραδείγματα
• Κάθε αντιστρέψιμος πίνακας γράφεται ως γινόμενο πινάκων που αντιστοιχούν σε στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών.
• Ασκήσεις

Σημειώσεις Μαθήματος 24.2

• Επίλυση συστημάτων με την μέθοδο του Gauss
• Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών και οι αντίστοιχοι πίνακες

Σημειώσεις Μαθήματος 22 Φεβ. 2023

• Αντίστροφοί πίνακες. Ο αντίστροφος του γινομένου, \( (AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1} \).
• Ανάστροφος πίνακας. Συμμετρικοί πίνακες. \( (AB)^t=B^t A^t\).
• Το γραμμικό σύστημα \(Ax=b\). Μοναδικότητα της λύσης αν \(A\) αντιστρέψιμος.
• Η συνάρτηση \(  \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\) με \(x \mapsto Ax\).
• Ο επαυξημένος πίνακας ενός συστήματος
• Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών και η ισοδυναμία των συστημάτων.
• Η μέθοδος απαλοιφής του Gauss. 

Σημειώσεις Μαθήματος 20 Φεβρουαρίου

• Βαθμωτός πολλαπλασιασμός αριθμού με πίνακα και ιδιότητες.

• Πολλαπλασιασμός πινάκων και ιδιότητες

• Αντιστρέψιμοι πίνακες.

• Υπολογισμός \( \begin{pmatrix} a & b \\ c &d  \end{pmatrix}^{-1} =\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix}  d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\) όταν \(ad-bc \neq 0\).

Σημειώσεις 17 Φεβρουαρίου 2023

Πίνακες (Βιβλίο Γ-Λυκείου 1990)

• Η έννοια του πίνακα. Ειδικές μορφές πινάκων (τετραγωνικός, τριγωνικός, μηδενικός κτλ).
• Πρόσθεση πινάκων και ιδιότητες. 
• Πολλαπλασιασμός πινάκων και ιδιότητες.

Σημειώσεις Μαθήματος