Γραμμική Άλγεβρα (K03)
Έγγραφα
| Τύπος | Aρχείο  | Μέγεθος | Ημερομηνία | |
|---|---|---|---|---|
| 1. Λύσεις στις ενδεικτικές ασκήσεις των πρώτων 6 διαλέξεων ΠΡΟΣΟΧΗ: Για το πρόβλημα 6 κοιτάξτε απευθείας σελίδα 11, αγνοώντας το κάτω κομμάτι της σελίδας 10 (εώς ότου διορθωθεί). Στο 5β) έχουμε ξεχάσει να κάνουμε τις προσθέσεις: το τελικό αποτέλεσμα είναι [5,1,-9]. Προσοχή επίσης ότι στο τελευταίο ερώτημα της πρώτης άσκησης τα a_3,a_4 ΔΕΝ είναι οι στήλες του πίνακα, αλλά τα διανύσματα που βρέθηκαν στο ερώτημα ζ, τα [-3,-2,-1,0] και [1,1,0,1]. | 2.32 MB | 31/3/24 | ||
| 1. Προβλήματα στις 6 πρώτες διαλέξεις Ιδιαίτερη έμφαση στα 1,3,4,5,6 | 118.2 KB | 31/3/24 | ||
| 2. Δεύτερη Σειρά Ασκήσεων Με έμφαση στις 1,2,3,6. | 108.54 KB | 31/3/24 | ||
| 2. Λύσεις δεύτερης σειράς ενδεικτικών ασκήσεων Στην πρώτη σειρά στο β ερώτημα μπορούμε να πούμε απευθείας το εξής: εφόσον ο \(Α\) έχει περισσότερες στήλες από γραμμές, αυτές θα είναι γραμμικώς εξαρτημένες, το οποίο σημαίνει ότι υπάρχει μη μηδενικό \(x\) ώστε \(Ax = 0 \) . Άρα και \(CA x = 0 \) άρα δεν γίνεται να είναι αντιστρέψιμος ο \(CA \). Με άλλα λόγια, οποιαδήποτε γραμμική σχέση μεταξύ των στηλών του \(Α\) δίνει την ίδια γραμμική σχέση μεταξύ των στηλών του \(CA\). | 4.24 MB | 31/3/24 | ||
| 3. Λύσεις τρίτης σειράς ασκήσεων | 192.93 KB | 31/3/24 | ||
| 3. Τρίτη Σειρά Ασκήσεων | 89.41 KB | 31/3/24 | ||
| Παραδείγματα Επίλυσης Συστημάτων με Ανηγμένη Κλιμακωτή Μορφή | 138.94 KB | 9/10/23 | ||
| Φροντιστήριο 2 Στην πρώτη άσκηση ψάχνουμε να βρούμε αν το διάνυσμα β μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός των άλλων τριών δοθέντων διανυσμάτων. Στη δεύτερη άσκηση θέλουμε να λύσουμε το σύστημα με τον δοθέντα επαυξημένο πίνακα ή ισοδύναμα να βρούμε τους συντελεστές που πρέπει να βάλουμε στα 5 διανύσματα που αποτελούν στήλες του πίνακα συντελεστών έτσι ώστε να φτιάξουμε το διάνυσμα των σταθερών όρων (τελευταία στήλη). | 1.2 MB | 19/10/23 | ||
| Φροντιστήριο 3 Στην τελευταία άσκηση επειδή έχουμε μία ελεύθερη μεταβλητή βρίσκουμε ότι το σύνολο λύσεων του συστήματος είναι η γραμμική θήκη ενός διανύσματος, εν προκειμένη του [1,-1,0,2,1]. Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι συντελεστές c1, c2, c3, c4, c5 για τους οποίους έχουμε μια γραφή του μηδενικού διανύσματος ως c1 * v1 + c2 * v2 + c3 * v3 + c4 * v4 + c5 * v5 είναι -όταν τους δούμε σαν διάνυσμα [c1, c2, c3, c4, c5]- στη γραμμική θήκη του [1,-1,0,2,1]. Αντίστροφα, κάθε [c1,c,2,c3,c4,c5] που είναι στη γραμμική θήκη του εν λόγω διανύσματος δίνει μια άλλη γραφή του μηδενικού διανύσματος, δηλαδή c1 * v1 + c2 * v2 + c3 * v3 + c4 * v4 + c5 * v5 = το μηδενικό διάνυσμα. | 1.22 MB | 20/10/23 | ||
| Φροντιστήριο 3 | 25.18 MB | 4/11/23 | ||
| Φροντιστήριο 4 Στην τελευταία άσκηση καταλήγουμε μέσω ισοδυναμιών σε κάτι που ισχύει \(A^3 - I = A^3- I) και στις δύο περιπτώσεις, άρα ισχύει και το αρχικό (εφόσον ισοδυναμίες σημαίνει ότι μπορεί να κάνουμε και τις πράξεις ανάποδα). | 1.67 MB | 8/11/23 | ||
| Φροντιστήριο 5 | 4.08 MB | 10/11/23 | ||
| Φροντιστήριο 6 | 4.33 MB | 1/12/23 | ||
| Φροντιστήριο 7 | 1.11 MB | 1/12/23 |
