Μάθημα : Στοχαστικές Ανελίξεις (Μεταπτυχιακό)

Περιγραφή του Μαθήματος

Μια στοχαστική ανέλιξη είναι μια οικογένεια τυχαίων μεταβλητών ορισμένη στον ίδιο χώρο πιθανότητας. Συνήθως αυτές οι τυχαίες μεταβλητές παραμετροποιούνται από μια μεταβλητή t που διαισθητικά παίζει το ρόλο του χρόνου και ανάλογα με τις τιμές της (στο σύνολο των ακεραίων ή στο σύνολο των πραγματικών αριθμών) η ανέλιξη χαρακτηρίζεται ως συνεχούς ή διακριτού χρόνου.  

Οι στοχαστικές ανελίξεις εισάγουν επομένως την έννοια του χρόνου στα τυχαιοκρατικά φαινόμενα που περιγράφει η Θεωρία Πιθανοτήτων και είναι το κατάλληλο εργαλείο για τη μελέτη, ποιοτική και ποσοτική, δυναμικών φαινομένων στα οποία υπεισέρχεται τυχαιότητα.

Σκοπός του μαθήματος είναι να παρουσιάσει σε μεταπτυχιακό επίπεδο μια εισαγωγή στις βασικότερες Στοχαστικές Ανελίξεις που χρησιμοποιούνται στις εφαρμογές χωρίς να προϋποτίθεται η γνώση Θεωρίας Μέτρου. Το πρώτο μέρος του μαθήματος, που θα μπορούσε να χαρακτηριστεί επαναληπτικό, είναι μια ανασκόπηση των Στοχαστικών Ανελίξεων που παρουσιάζονται σε προπτυχιακό επίπεδο, δηλαδή των ανανεωτικών διαδικασιών και των Μαρκοβιανών αλυσίδων διακριτού χρόνου. Στο δεύτερο μέρος του μαθήματος θα παρουσιαστούν οι Μαρκοβιανές ανανεωτικές διαδικασίες (Markov renewal processes), τα Martingales, οι κλαδωτές διαδικασίες (branching processes) και οι τυχαίοι περίπατοι (random walks).

Κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας θα δοθεί έμφαση τόσο στην ανάπτυξη της θεωρίας όσο και στην παρουσίαση εφαρμογών. Επιπλέον θα λυθούν αρκετές τυπικές ασκήσεις μοντελοποίησης, υπολογιστικών τεχνικών και εννοιολογικών προβλημάτων.

Για την καλύτερη κατανόηση του μαθήματος θα ήταν επιθυμητό οι φοιτητές να έχουν έρθει σε επαφή με την ύλη των προπτυχιακών μαθημάτων Στοχαστικές Ανελίξεις και Στοχαστικές Μέθοδοι στην Επιχειρησιακή Έρευνα Ι καθώς και με την ύλη του μεταπτυχιακού μαθήματος Στοχαστικά Μοντέλα στην Επιχειρησιακή Έρευνα.

Βιβλιογραφία

1. Φακίνου Δ. (2003) Στοχαστικά Μοντέλα στην Επιχειρησιακή Έρευνα: Θεωρία και Ασκήσεις. Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα.
2. Χρυσαφίνου Ο. (2004) Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις. Εκδόσεις Σοφία, Θεσσαλονίκη.
3. Karlin S. and Taylor, H. (1975) A First Course in Stochastic Processes. Academic Press, New York.
4. Kulkarni, V. G. (1995) Modeling and Analysis of Stochastic Systems. Chapman and Hall, London.
5. Ross, S. M. (1970) Applied Probability Models with Optimization Applications. Holden-Day, Inc., San Francisco. Reprinted by Dover (1992).
6. Ross, S. M. (1996) Stochastic Processes, 2nd Edition. Wiley, New York.

Ύλη

1. Ανασκόπηση ανανεωτικών διαδικασιών (Φακίνου (2003), Χρυσαφίνου (2004), Kulkarni (1995), Ross (1970), Ross (1996)).
2. Ανασκόπηση Μαρκοβιανών αλυσίδων διακριτού χρόνου (Φακίνου (2003), Χρυσαφίνου (2004), Ross (1970), Ross (1996)).
3. Μαρκοβιανές ανανεωτικές διαδικασίες (Kulkarni (1995))
4. Martingales (Karlin and Taylor (1975), Ross (1996))
5. Κλαδωτές διαδικασίες (Karlin and Taylor (1975))
6. Τυχαίοι περίπατοι (Ross (1996))

Σχέδιο Μαθήματος

Η ύλη αναπτύσσεται σε 2 δίωρα μαθήματα κάθε εβδομάδα. Η γενική ιδέα είναι να αφιερώνεται το ένα δίωρο στην ανάπτυξη της θεωρίας, στην παρουσίαση υπολογιστικών τεχνικών και σε βασικές εφαρμογές ενώ το δεύτερο να αφιερώνεται σε λύση ασκήσεων, στην οποία καλό θα ήταν να συμμετέχουν και οι φοιτητές με τις δικές τους λύσεις. Ενδεικτικά η χρονική κατανομή της ύλης θα είναι ως εξής:

1. Ανασκόπηση ανανεωτικών διαδικασιών (1 εβδομάδα).
2. Ανασκόπηση Μαρκοβιανών αλυσίδων διακριτού χρόνου (1 εβδομάδα).
3. Μαρκοβιανές ανανεωτικές διαδικασίες (5 εβδομάδες)
4. Martingales (4 εβδομάδες)
5. Κλαδωτές διαδικασίες (1 εβδομάδα)
6. Τυχαίοι περίπατοι (1 εβδομάδα)