Μάθημα : Βασικές Μαθηματικές Μέθοδοι

Σχέση Μαθηματικών - Φυσικής. Γενικές πληροφορίες για το μάθημα. Κατασκευή για τον προσδιορισμό θέσης σε μια σφαίρα (π.χ. υδρόγειο).

Κατάλληλη κατασκευή συντεταγμένων για τον προσδιορισμό σημείου στην επιφάνεια αξονικά συμμετρικού σώματος (μήλου). Διανύσματα: τι είναι πως παριστάνονται σε διάφορα συστήματα συντεταγμένων (καρτεσιανών, πλαγιογώνιων, καμπυλόγραμμων). Μέτρο. Μηδενικό διάνυσμα. Πρόσθεση (και αφαίρεση). Κανόνας παραλληλογράμμου.

Αποκάλυψη του κώδικα του μηνύματος: Νήσος Clipperton, ή νησί του Πάθους (Ειρηνικός ωκεανός: με συντεταγμένες \(10^{ο} 18' Ν\) , \(109^{ο} 12' W\).) Γραφή και συμβολισμός διανυσμάτων. Αθροιστική σύμβαση του Einstein. Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα. Τι μπορεί να είναι ο πολλαπλασιασμός δύο διανυσμάτων; Υπάρχει πολλαπλασιασμός διανυσμάτων που να οδηγεί σε βαθμωτό μέγεθος και να είναι αναλλοίωτο σε στροφές του συστήματος. Πώς "στριβουν" οι συντεταγμένες διανύσματος. Κατασκευή εσωτερικού γινομένου.

Κατασκευές βαθμωτών γινομένων διανυσμάτων και τι προϋποθέσεις πρέπει να ικανοποιούν αυτές: 1. Γραμμικότητα ως προς το κάθε διάνυσμα. 2. Αναλλοιώτητα σε στροφές του συστήματος συντεταγμένων. 3. Αντιμεταθετικότητα σε εναλλαγές της σειράς των διανυσμάτων. Το \(\vec{a} \star \vec{b}=a_1 b_2-a_2 b_1\) ικανοποιεί μόνο τα 2 πρώτα, οπότε δεν το θεωρούμε "καλό" βαθμωτό γινόμενο. Χρήση του εσωτερικού γινομένου για τον υπολογισμό (α) του μέτρου διανύσματος, (β) του μέτρου αθροίσματος διανυσμάτων, (γ) της προβολής διανύσματος στην κατεύθυνση άλλου διανύσματος. Εύρεση της συσχέτισης των συντεταγμένων ενός διανύσματος σε στραμμένα συστήματα συντεταγμένων με τη χρήση των προβολών.

Ασήσεις: Διευκρίνιση σχετικά με την άσκηση 7 (αλλαγή στο νέο αρχείο). Επίλυση και συζήτηση της άσκησης 5 με τις προβολές των προβολών. Κατασκευή "γινομένου-διάνυσμα" από δύο διανύσματα (=εξωτερικού γινομένου). Γιατί θα πρέπει η κατασκευή να αλλάζει πρόσημο όταν αλλάζει η σειρά των διανυσμάτων. Γραφή του εξωτερικού γινομένου με συντεταγμένες. Συσχέτιση με εμβαδά-επιφάνειες. Κατασκευή τριπλού γινομένου: εξωτερικού-εσωτερικού (όγκος) και εξωτερικου-εξωτερικού.

Σύνοψη της κατασκευής του εξωτερικού γινομένου. Σύνδεση με τον διανυσματικό ορισμό επιφάνειας. Άσκηση επαναλαμβανόμενων εξωτερικών γινομένων 2 διανυσμάτων. Τανυστικό γινόμενο διανυσμάτων με παράδειγμα. Ψευδοδιανύσματα και πείραμα της Wu περί ρήξης της συμμετρίας της ομοτιμίας σε ασθενείς αλληλεπιδράσεις. Συζήτηση περί μέτρησης και φυσικής μονάδας μέτρησης γωνιών. Εισαγωγή σφαιρικών συντεταγμένων και συσχέτιση με καρτεσιανές.

Γωνιακή απόσταση δύο σημείων πάνω σε σφαίρα. Συνολικό διανυσματικό άθροισμα μιας κλειστής επιφάνειας \(= \vec{0} \). Ορισμός στερεάς γωνίας. Υπολογισμός αυτής σε ολόκληρη σφαίρα και μέρος αυτής. Απειροστή στερεά γωνία και συσχέτιση αυτής με διαφορετικές επιφάνειες προβολής. Ο Αρχιμήδειος υπολογισμός του εμβαδού της σφαίρας.

Γιατί δεν έχει νόημα το αντίστροφο διανύσματος και η διαίρεση διανυσμάτων. Οι πεπερασμένες στροφές ως μη μεταθετικά "αντικείμενα" και ο διανυσματικός χαρακτήρας των απειροστών στροφών. Εισαγωγή στους πίνακες, με αφορμή τον πίνακα στροφής των συντεταγμένων διανύσματος. Γινόμενο πινάκων. Μη μεταθετικότητα, αλλά προσεταιριστικότητα του πολλαπλασιασμού πινάκων. Χρήση δεικτών για τους υπολογισμούς του γινομένου πινάκων.

Οι έννοιες της ενεργητικής και της παθητικής στροφής. Σχέση των αναπαραστάσεών τους ως πίνακες. Πίνακες πεπερασμένων στροφών στις 3 διαστάσεις (γύρω από τους άξονες \(x, y, z\)). Μη μεταθετικότητα του γινομένου αυτών. Απειροστές αντίστοιχες στροφές και μεταθετικότητα αυτών. Οι στροφές νοούντι ως στροφές πάνω σε επίπεδο και όχ ως στροφές γύρω από άξονες. Η έννοια του μοναδιαίου πίνακα \({\bf I}\), του αντιστρόφου πίνακα \({\bf A}^{-1}\) και του αναστρόφου πίνακα \( {\bf A}^\top \). Ανάστροφος γινομένου πινάκων. Συμμετροποίηση και αντισυμμετροποίηση πίνακα.

Περί συμμετρικού μέρους πινάκων και χρήση αυτών για την περιγραφή μιας διγραμμικής έκφρασης της μορφής \(A_{ij} x_i x_j\). Η έννοια της μετρικής. Λύση γραμμικών συστημάτων με τη βοήθεια πινάκων. Κατασκευή αντίστροφου πίνακα. Το ίχνος ενός πίνακα και η αναλλοιώτητα αυτού. Απόδειξη ότι \( ({\bf A}{\bf B})^\top=({\bf B}{\bf A})^\top\).

Δράση ενός πίνακα σε ένα διάνυσμα. Η έννοια των ιδιοανυσμάτων (eigenvectors) και ιδιοτιμών (eigenvalues) ενός πίνακα. Τεχνική ευρέσεως αυτών. Φυσικό πρόβλημα εύρεσης ιδοανυσμάτων-ιδιοτιμών (ελαστική κρούση).

Χρήση των ιδιοανυσμάτων για την ανάλυση μιας διγραμμικής έκφρασης \(a x^2+b y^2+2c x y\) ώστε να εκφράζει μια μη στραμμένη στη βάση των ιδιοανυσμάτων κωνική τομή. Απόδειξη ότι ένας συμμετρικός πίνακας έχει ορθογώνια ιδιοανύσματα. Συνέχιση και φυσική ερμηνεία των αποτελεσμάτων περί ιδιοτιμών και ιδιοανυσμάτων σε μια ελαστική κρούση. Επέκταση του προβλήματος με ένα μη απόλυτα ελαστικό τοίχωμα.

Ολοκλήρωση της ανάλυσης του φυσικού προβλήματος των επαναλαμβανόμενων διπλών κρούσεων σώμα-σώμα και σώμα-τοίχωμα με χρήση ιδιοανυσμάτων. Συζήτηση για την εξέλιξη μιας αρχικής κατάστασης που δεν περιγράφεται από κάποιιο ιδιοάνυσμα. Υπολογισμός χρόνων και θέσεων των διαδοχικών κρούσεων αν η αρχική κατάσταση είναι ιδιοάνυσμα.

Υπολογισμός της ενέργειας του συστήματος των συγκρουόμενων μαζών μετά από \(N\) κρούσεις, μέσω ανάλυσης του διανύσματος των αρχικών ταχυτήτων στα ιδιοανύσματα του πίνακα των διπλών κρούσεων. Τελική προσέγγιση του συστήματος στην κατάσταση (ιδιοδιεύθυνση) με την μεγαλύτερη ιδιοτιμή. Συνθήκη για σταμάτημα του φαινομένου μέσω προσέγγισης του συστήματος στην περιοχή πέραν της οποίας δεν ξανασυμβαίνουν κρούσεις (\(v_1<v_2\)).
Η ορίζουσα νεός πίνακα, ως λόγος εμβαδών περιοχών του διανυσματικού χώρου στον οποίο δρα ο πίνακας. Απόδειξη για τετραγωνικό χωρίο δράσης.

Η ορίζουσα τετραγωνικού πίνακα (μόνο γι' αυτούς ορίζεται). Απόδειξη με πίνακες \(2\times 2\) ότι η ορίζουσα του πίνακα εκφράζει το λόγο των εμβαδών των διανυσμάτων \({\bf K}\vec{a},{\bf K}\vec{b}\) σε σχέση με αυτό των \( \vec{a},\vec{b}\).
Απόδειξη του ότι η ορίζουσα για πίνακες \(2 \times 2\) και για πίνακες \(3 \times 3\) ισούται με το γινόμενο των ιδιοτιμών του πίνακα.
Υπολογισμός της ορίζουσας μέσω του πλήρως αντισυμμετρικού τανυστή τάξης \(N\), \(\epsilon_{a,b,c,\ldots}\). Ορισμός του αντίστοιχου τανυστή και παραδείγματα.

Ο τανυστής δέλτα του Kronecker \(\delta_{ij} \). Συσχέτιση με εσωτερικά γινόμενα και αναπαράσταση μέσω του ταυτοτικού (μοναδιαίυ) πίνακα. Περαιτέρω συζητηση για τον \(\epsilon_{ij}, \epsilon_{ijk}, \epsilon_{\alpha,\beta\gamma,\ldots}\) και συσχέτιση του τανυστή 3ης τάξης με τα εξωτερικά γινόμενα. Ταυτότητες από συνδυασμούς των \(\epsilon,\delta\) και εφαρμογή στον υπολογισμό του \(({\vec a}\times{\vec b})\cdot({\vec c}\times\vec{d})\). Δυσκολία υπολογισμού της ορίζουσας αθροίσματος και γινομένου πινάκων με απευθείας χρήση του ορισμού της ορίζουσας. Απόδειξη του ότι \( \det({\bf A}{\bf B})=\det\det({\bf A})\det({\bf B}) \) μέσω της γεωμετρικής ερμηνείας της ορίζουσας (ως λόγος όγκων) και μέσω της ανάλυσης διανυσμάτων στα ιδιοανύσματα των \( {\bf A},{\bf B}\).

Σύντομη επανάληψη στις ιδίοτητες του \(\epsilon_{ij\cdots}\). Ιδιότητες οριζουσών (εναλλαγή γραμμών, πρόσθεση σε γραμμή άλλης γραμμής, ορίζουσα αναστρόφου, ορίζουσα πίνακα πολλαπλασιασμένου με αριθμό). Υπολογισμός ορίζουσας με τη βοήθεια των ιδιοτήτων αυτών. Ιακωβιανή ορίζουσα (Jacobian) ως μέτρο του μετασχηματισμού όγκων.

Φυσική σημασία και τρόπος υπολογισμού της Ιακωβιανής ορίζουσας του μετασχηματισμού συντεταγμένων. Εφαρμογή στον υπολογισμό όγκου ημισφαιρίου με 2πλό και τριπλό ολοκλήρωμα και πέρασμα από καρτεσιανές σε πολικές ή σφαιρικές συντεταγμένες.
Διαγωνιοποίηση πίνακα μέσω του πίνακα των ιδιοανυσμάτων του. Ανάλυση του πίνακα στη μορφή \({\bf A}={\bf X} {\bf \Lambda}{\bf X}^{-1}\), όπου \({\bf X}\) ο πίνακας που έχει ως στήλες τα ιδιοανύσματα \( {\bf \Lambda}\) ο διαγώνιος πίνακας με τις αντίστοιχες ιδιοτιμές του.
Απόδειξη ότι αν τα ιδιοανύσματα είναι ορθογώνια τότε ο πίνακας είναι συμμετρικός και το αντίστροφο.

Σημ: Η απόδειξη του αντιστρόφου δεν ολοκληρώθηκε από λάθος μου. Θα ήταν προτιμώτερο στην τελική έκφραση να χρησιμοποιούσαμε την εξίσωση \( {\bf K}{\bf \Lambda}={\bf \Lambda}{\bf K} \). Τότε η απόδειξη θα είχε αίσιο τέλος. Θα παρουσιαστεί στο επόμενο μάθημα.

Απόδειξη ότι τα ιδιοανύσματα ενός συμμετρικού πίνακα είναι ορθογώνια μεταξύ τους, εφόσον όλες οι ιδιοτιμές είναι διαφορετικές. Ειδική μνεία για την περίπτωση του εκφυλισμού με κάποιες ίδιες ιδιοτιμές. Στην περίπτωση αυτή έχουμε την ελευθερία να διαλέξουμε καταλλήλως εμείς τα αντίστοιχα ιδιοανύσματα ώστε να είναι μεταξύ τους ορθογώνια.
Θεώρημα Cayley-Hamilton και κατασκευή των δυνάμεων ενός πίνακα από τις \(N-1\) πρώτες δυνάμεις του,
όπου \(N\) η διάσταση του πίνακα. Παράδεγμα για την κατασκευή μιας οποιασδήποτε δύναμης ενός \(2 \times 2\) πίνακα (επίκληση σε αναδρομικές ακολουθίες 2ης τάξης).
Εισαγωγή στους μιγαδικούς. Πραγματικό και φανταστικό μέρος. Πρόσθεση, αφαίρεση, πολλ/σμός, διαίρεση μιγαδικών.

Γενικές απορίες-απαντήσεις λόγω της συγκεκριμένης αναστάτωσης που έλαβε χώρα και του μισό-αχρηστευμένου πίνακα.
Επανάληψη σε πράξεις μιγαδικών. Πολική αναπαράσταση μιγαδικού. Μέτρο και όρισμα μιγαδικού. \(N\)-οστές ρίζες μιγαδικών. Υπολογισμοί τριγωνομετρικών ταυτοτήτων με τη βοήθεια μιγαδικών. Αναπαράσταση με διανύσματα στο μιγαδικό επίπεδο μιγαδικών αριθμών και απουσία ισοτροπίας του μιγαδικού επιπέδου. Περί μη διάταξης των μιγαδικών. Υπολογισμοί γεωμετρικών σειρών μιγαδικών και ισοδύναμοι διανυσμαικοί υπολογισμοί.

Εναλλακτική ανάλυση με μιγαδικούς του προβλήματος των 2 φορτίων. Σύμμορφοι μετασχηματισμοί σχημάτων που συνεπάγονται διάφορες μιγαδικές εκφράσεις.
Εύρεση ριζών κυβικών πολυωνύμων με τη χρήση μιγαδικών αριθμών.
Χρήση μιγαδικών στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Μελέτη αρμονικού ταλαντωτή με απόσβεση και διέγερση.

Αναπαράσταση των μιγαδικών με πίνακες ώστε να είναι η αντιστοίχιση της πράξης του πολλ/σμού ορθή. Πίνακες με μιγαδικές ιδιοτιμές και ιδιοανύσματα (π.χ. πίνακες στροφής). Μιγαδικοί πίνακες με πραγματικές ιδιοτιμές (ερμιτιανοί). ΑΠίνακες του Pauli ως βάση των ερμιτιανών πινάκων. Περιγραφή των φυσικών μεγεθών με ερμιτιανούς πίνακες στην κβαντομηχανική.

Γενική ανασκόπηση του μαθήματος. Σύντομη παρουσίαση των εννοιών και των χρήσεών αυτών.