Γραμμική Άλγεβρα Ι Εαρινό 2023 (Τμήμα Κοντογεώργη)

• Ο πίνακας  \( (f,B,B) '\) μιας γραμμικής συνάρτησης \(f:V \rightarrow W\), ως προς διατεταγμένες βάσεις \(B,B'\) των \(V,W\) αντίστοιχα. 
• Η συνάρτηση συντεταγμένων \([\cdot]_B:V \longmapsto \mathbb{R}^n\), ως προς κάποια βάση \(B\) του \(V\). 
• Ο τύπος μεταφοράς συντεταγμένων \( [f(v)]_{B'}= (f,B,B')\cdot [v]_B\).
• O τύπος της σύνθεσης \( (g\circ f,B_1,B_3) = (g,B_2,B_3)\cdot (f,B_1,B_2) \),  για γραμμικές συναρτήσεις \(f:V_1\rightarrow V_2\), \(g: V_2 \rightarrow V_3\) και \(B_1,B_2,B_3\) διατετ

• Η συνάρτηση \(\pi:V \rightarrow V/A\) είναι γραμμική.
• Με βάση την γραμμική συνάρτηση \(f:V \rightarrow W\) κατασκευή του ισομορφισμού \(\bar{f}: A/\mathrm{ker}f \rightarrow \mathrm{Im}f\).
• Για κάθε γραμμική \(f: V \rightarrow W\) ισχύει \(\mathrm{dim}V = \mathrm{dim} \mathrm{ker}f + \mathrm{dim} \mathrm{Im} f\).
• Δίνεται ότι \(\mathrm{dim}V=\mathrm{dim}W\). Μια \(f:V \rightarrow W\) είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν είναι επιμορφισμός.
• Ασκήσεις.

Σημειώσεις 7 Απριλίου 2023

• Αν η \(f:V\rightarrow W\) είναι γραμμική και επί και \(\langle v_1,\ldots,v_n \rangle=V\) τότε \(\langle f(v_1),\ldots, f(v_n) \rangle=W\).
• Αν \(\{v_1,\ldots,v_n\}\) γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα του \(V\) και \(w_1,\ldots,w_n\) οποιαδήποτε διανύσματα του \(W\), τότε υπάρχει γραμμική συνάρτηση \(f:V \rightarrow W\),  με \(f(v_i)=w_i\), \(i=1,\ldots,n\). 
• Μια γραμμική συνάρτηση \(f:V\rightarrow W\) είναι 1-1 αν και μόνο αν υπάρχει γραμμική συνάρτηση \(g:W \rightarrow V\) με \(g \circ f =1_V\).

• Γραμμικές συναρτήσεις, παραδείγματα
• Ο πυρήνας και η εικόνα γραμμικής συνάρτησης. 
• Οι γραμμικές συναρτήσεις μεταφέρουν γραμμικά εξαρτημένα διανύσματα σε γραμμικά εξαρτημένα. Αν μια γραμμική συνάρτηση είναι 1-1 μεταφέρει γραμμικά ανεξάρτητα σε γραμμικά ανεξάρτητα.  
• Μια γραμμική συνάρτηση είναι 1-1 αν και μόνο αν ο πυρήνας της είναι ο μηδενικός υπόχωρος. 
• Ισομορφισμοί διανυσματικών χώρων. Ο ισομροφισμός μεταξύ διανυσματικών χώρων είναι σχέση ισοδυναμίας. 
• Διανυσματικοί χώροι πεπερασμένης διάσταση

• Αν \(B=\{w_1,\ldots,w_n\}\) και \( \langle B \rangle =V\) και \( \{v_1,\ldots,v_r\}\) είναι ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο, τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα σύνολο γεννητόρων \(Β_0\) του \(V\) αποτελούμενο από τα \( \{v_1,\ldots,v_r\}\) και από \(n-r\) στοιχεία του \(B\). Αν το \(B\) είναι βάση και το \(B_0\) είναι βάση. 
• Ασκήσεις

Σημειώσεις 31.3.2023

• Κάθε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο ενός πεπερασμένα παραγόμενου διανυσματικού χώρου μπορεί να συμπληρωθεί σε μία βάση. 
• Αν ισχύουν 2 από τα παρακάτω ισχύει και το τρίτο: \(\mathrm{dim}(V)=n, \{v_1,\ldots,v_n\}\) γραμμικά ανεξάρτητα, \( \langle v_1,\ldots, v_n \rangle = V\). 
• Για δύο διανυσματικούς υπόχωρους \(Α,B\)  ενός πεπερασμένα παραγόμενου χώρου \(V\) ισχύει \(\mathrm{dim}(A+B)= \mathrm{dim}(A)+ \mathrm{dim}(B)- \mathrm{dim}(A \cap B) \).
• Αν ο \(V\) είναι πεπερασμένα παραγόμενος διανυσματικός

• Παραδείγματα από βάσεις διαφορετικών διανυσματικών χώρων: ο χώρος \(\mathbb{R}^n\), ο χώρος των \(n \times m\), πινάκων, ο χώρος των πολυωνύμων \(\mathbb{R}_{\leq n}[x]\) φραγμένου βαθμού από το \(n).
• Αλγόριθμος κατασκευής βάσεις στον χώρο  \(V\) που παράγεται από τα \(v_1,\ldots,v_m \in \mathbb{R}^n\). Κατασκευάζουμε ένα πίνακα που έχει ως γραμμές τα διανύσματα \(v_1,\ldots,v_m\). Με απαλοιφή Gauss φέρνουμε τον πίνακα σε κλιμακωτή μορφή, οπότε οι μη-μηδενικές γραμμές του κλιμακωτού πίνακα αποτ

• Γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία
• Υποσύνολο γραμμικά ανεξαρτήτων διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα
• Υπερσύνολο γραμμικά εξαρτημένων διανυσμάτων είναι γραμμικά εξαρτημένα
• Αν στο σύνολο \(v_1,\ldots,v_n\) από γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα προσθέσω το \(v\)  και γίνουν γραμμικά εξάρτημένα, τότε \(v\in \langle v_1, \ldots, v_n \rangle \). 
• Μη μηδενικές γραμμές κλιμακωτού πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητες. 

Σημειώσεις μαθήματος 24 Μαρτίου 2023 

• Ο χώρος \(\langle v_1,\ldots, v_n \rangle \) που παράγεται από τα διανύσματα \(v_1,\ldots, v_n\)  του διανυσματικού χώρου \(V\).
• Ο χώρος \(V\) είναι ο ελάχιστος διανυσματικός χώρος που περιέχει τα  \(v_1,\ldots, v_n\) 
• Το σύστημα \(Ax=b\) έχει λύση αν και μόνο αν το \(v\) ανήκει στον χώρο που παράγουν οι στήλες του \(V\). 
• Ο χώρος \(V\) δεν εξαρτάται από τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς διανυσμάτων
• Δύο γραμοισοδύναμοι πίνακες έχουν τον ίδιο χώρο γραμμών. 
• Παραδείγματα

Σημειώσεις Μαθήματος 22

• Κατασκευή του αθροίσματος και του ευθέως αθροίσματος
• Μοναδικότητα της γραφής σε ευθέα αθροίσματος
• Ο χώρος πηλίκο \(V/A\) δύο διανυσματικών χώρων
• Παραδείγματα

Σημειώσεις Μαθήματος 20/3/2023