Παρουσίαση/Προβολή

(MATH175) -  Ευγένιος Κακαριάδης - Αριστείδης Κατάβολος

Περιγραφή Μαθήματος

Βρίσκεστε στην ηλεκτρονική σελίδα του μαθήματος «ΘΕΩΡΙΑ ΤΕΛΕΣΤΩΝ (Θ13=Ε20)» που θα διδάσκεται το χειμερινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2025/26. Στη σελίδα αυτή θα βρείτε σημειώσεις, ασκήσεις, πληροφορίες και ανακοινώσεις για το μάθημα. Η σελίδα θα ανανεώνεται στη διάρκεια του εξαμήνου.

 

Η πρόσβαση είναι ελεύθερη για όλους, χωρίς εγγραφή. Αν όμως κάποιος εγγραφεί και δώσει ένα e-mail, θα λαμβάνει εκεί τις ανακοινώσεις. Για διευκρινήσεις μπορείτε να επικοινωνήσετε μαζί μου ηλεκτρονικά είτε κατά τις ώρες γραφείου.

 

Θέματα που θα καλυφθούν στο μάθημα και βιβλιογραφία:

 

Το γενικό αντικείμενο του μαθήματος είναι η λεγόμενη "Μη-μεταθετική (η Κβαντισμένη) Συναρτησιακή Ανάλυση". Η ονομασία αυτή προέρχεται από το γεγονός ότι η Κλασική Συναρτησιακή Ανάλυση ασχολείται με χώρους Banach, που είναι χώροι συναρτήσεων, ενώ η Κβαντισμένη Συναρτησιακή Ανάλυση ασχολείται και με τελεστές, που δεν μετατίθενται κατ'ανάγκη μεταξύ τους, όπως οι συναρτήσεις.

 

Το μάθημα αποτελεί μια εισαγωγή στην Θεωρία των C*-αλγεβρών και θα καλύπτει τα εξής θέματα:

* Εισαγωγή στις άλγεβρες Banach και την φασματική θεωρία.
* C*-άλγεβρες και ο Συναρτησιακός Λογισμός.

* Αναπαραστάσεις C*-αλγεβρών και η κατασκευή GNS.

 

Θα ακολουθήσουμε το περιεχόμενο των τριών πρώτων κεφαλαίων του βιβλίου "C*-Algebras and Operator Theory, Gerald J. Murphy". Επιπλέον βιβλιογραφία για ασκήσεις προτείνεται η εξής:

- An Introduction to C*-Algebras and the Classification Program, Karen R. Strung.
- C*-algebras by Example, Kenneth R. Davidson.
- Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume I, Richard V. Kadison, John R. Ringrose.
- Operator Algebras, Bruce Blackadar.

 

Περιγραφή

 

Μια C*-άλγεβρα Α είναι ένας κλειστός υπόχωρος κάποιου B(H), για H χώρο Hilbert, που περιέχει τον συζυγή κάθε στοιχείου της, και επίσης περιέχει το γινόμενο κάθε ζεύγους στοιχείων της. Αν είναι επιπλέον κλειστή και στην τοπολογία της σύγκλισης στα σημεία του Η, λέγεται άλγεβρα von Neumann. Οι άλγεβρες αυτές δημιουργήθηκαν αρχικά για τις ανάγκες της Κβαντικής Μηχανικής αλλά και της θεωρίας αναπαραστάσεων (τοπικά συμπαγών) ομάδων.

 

Από τις ωραιότερες μαθηματικές κατακτήσεις του 20ου αιώνα είναι η θεωρία Gelfand, που πετυχαίνει τον χαρακτηρισμό των C* αλγεβρών μέσω ενός απλού συστήματος αξιωμάτων. Επίσης, οι μεταθετικές C*-άλγεβρες με μονάδα αποδεικνύεται οτι είναι ακριβώς της μορφής C(K), οπου Κ ο συμπαγής χώρος των χαρακτήρων (δηλαδή των μονοδιάστατων αναπαραστάσεών της). Για το λόγο αυτό η θεωρία των C*-αλγεβρών αναφέρεται συχνά ως "μη-μεταθετική τοπολογία".

 

Κλειδί για τον αξιωματικό χαρακτηρισμό των C*-αλγεβρών είναι η λεγόμενη "κατασκευή GNS". Η κατασκευη GNS αντιστοιχίζει σε καθε θετικό συναρτησοειδές νόρμας 1 μια αναπαράσταση της C*-άλγεβρας σε καποιον χωρο Hilbert. Παίρνοντας όλες αυτές τις αναπαραστάσεις δημιουργείται μια πιστή/ισομετρική αναπαράσταση της C*-άλγεβρας σαν τελεστές σε χώρο Hilbert.

 

Επομένως οι C*-άγεβρες έχουν δυο τρόπους περιγραφής: μια "αφηρημένη" μέσω των αξιωμάτων, και μια "συγκεκριμένη" σαν κλειστή *-υπάλγεβρα ενός B(H). Η αφηρημένη περιγραφή επιτρέπει την κατασκευή νέων C*-αλγεβρών από παλιές όπως τανυστικών γινομένων, ευθέων ορίων, σταυρωτών γινομένων κλπ, ενώ η συγκεκριμένη επιτρέπει την χρήση όλων των εργαλείων που έχουμε για τελεστές σε χώρους Hilbert όπως της ταύτισης του χώρου πινάκων Μ_n(B(H)) με τον χώρο B(H^{(n)}).

 

Από εκεί υπάρχουν διάφορα θέματα που έχουν αναπτυχθεί όπως για παράδειγμα:

- Το Θεώρημα Διαστολής Stinespring, το Θεώρημα Επέκτασης Arveson.

- Αφηρημένη και συγκεκριμένη περιγραφή για συστήματα τελεστών και εφαρμογές στην Θεωρία Κβαντικής Πληροφορίας.

- C*-envelope, μεγιστικές διαστολές και hyperrigidity για συστήματα τελεστών.

- C*-άλγεβρες ομάδων, συσχέτιση nuclearity με amenability της ομάδας.

- Finite dimensional approximations, nuclearity, exactness.

- Άλγεβρες von Neumann, type decomposition.

- K-theory και ταξινόμηση C*-αλγεβρών.

- KMS-states και Κβαντομηχανική.

- Operator algebras of product systems.

 

Προαπαιτούμενα:

 

Τα προαπαιτούμενα για την παρακολούθηση του μαθήματος είναι περιορισμένα: Γραμμική άλγεβρα, Πραγματική Ανάλυση και γνώσεις προπτυχιακής Συναρτησιακής Ανάλυσης και Θεωρίας Μέτρου είναι αρκετές. Ειδικότερα, δεν προϋποτίθεται γνώση Θεωρίας Τελεστών, ούτε, βεβαίως, Κβαντομηχανικής.

 

Δείτε και τις πληροφορίες

Ημερομηνία δημιουργίας

Τρίτη 2 Δεκεμβρίου 2