Μάθημα : Θεωρία Τελεστών (Θ13-E20)

Αν φ ειναι θετικη γραμμικη μορφη σε μια C* αλγεβρα, τοτε προφανως (!) στελνει αυτοσυζυγη στοιχεια σε πραγματικους αριθμους:

Αν α=α* γραφω α=β-γ οπου β, γ θετικα στοιχεια και εχω φ(α)=φ(β)-φ(γ) πραγματικος!!

(Επομενως επεται η Cauchy Schwartz και η συνεχεια της φ οπως ειδαμε)

Η μακροσκελης αποδειξη που καναμε στην ταξη εδειξε αλλο πραγμα: οτι αν μια γραμμικη μορφη φ (που δεν υποθετω θετικη) ικανοποιει ||φ||=φ(1), τοτε στελνει αυτοσυζυγη στοιχεια σε πραγματικους αριθμους. Κι απο αυτο μπορεις ευκολα να συμπερανεις οτι ειναι θετικη:

Πραγματι, παρε α θετικο με νορμα ||α||=μ. Ξερουμε οτι τοτε το ||α-μ1|| δεν ξεπερναει το Μ. Εφαρμοζεις την φ που εχει νορμα 1:

|φ(α-μ1) < ή = μ. Δηλ. |φ(α)-μ| < ή = μ. Που σημαινει φ(α) μη ανητικο!