Μάρτιος 2020
Σχέσεις Maxwell   
Τετάρτη, 11 Μαρτίου 2020 - 11:42 π.μ.

Οι σχέσεις Maxwell είναι ισότητες μεταξύ μερικών παραγώγων. Συνδέουν φαινομενικά άσχετα μεγέθη και είναι πολύ χρήσιμες ιδίως σε περιπτώσεις που αναζητείται η εξάρτηση της εντροπίας από άλλα μεγέθη. Προκύπουν από εφαρμογή του κριτηρίου Euler σε ολικά διαφορικά. Σύμφωνα με το κριτήριο Euler οι δεύτερες μικτές παράγωγοι μιας εξαρτημένης μεταβλητής ως προς δύο από τις ανεξάρτητες μεταβλητές της είναι ίσες, ανεξάρτητα από την σειρά παραγωγίσεως. π.χ. U = U(S,V), οπότε dU = (dU/dS)V dS + (dU/dV)S dV. Σύμφωνα με το κριτήριο Euler (Όιλερ), (d/dV(dU/dS)V)S = (d/dS(dU/dV)S)V. Όμως, από σύγκριση με την θεμελιώδη διαφορική εξίσωση dU = TdS - PdV, έχουμε ότι (dU/dS)V = T και (dU/dV)S = -P. Οι δεύτερης τάξεως μικτές παράγωγοι του U είναι (dT/dV)S και (d(-P)/dS)V οι οποίες είναι ίσες μεταξύ τους λόγω του κριτηρίου Euler, δηλ. (dT/dV)S = -(dP/dS)V. Όμοιες σχέσεις προκύπτουν από όλες τις θεμελιώδεις διαφορικές εξισώσεις: dH = T dS + V dP, dF = -S dT - P dV, dG = -S dT + V dP οι οποίες είναι (dT/dP)S = (dV/dS)P, (dS/dV)T = (dP/dT)V και (dS/dP)T = -(dV/dT)P.

Άσκηση 7:
Να αποδείξετε ότι η εσωτερική ενέργεια ενός ιδανικού αερίου είναι μόνο συνάρτηση της θερμοκρασίας. Υποδείξεις: Ξεκινήστε από την θεμελιώδη εξίσωση για το dU και προσπαθήστε να αποδείξετε ότι (dU/dV)T = 0 (ή ότι (dU/dP)T = 0), οπότε χρειάζεται να κάνετε αλλαγή μεταβλητών από S και V σε Τ και VT και P). Χρησιμοποιήστε την (γνωστή) καταστατική εξίσωση ιδανικών αερίων για να έχετε σχέση μεταξύ P, T και V.