Γεωμετρία I (χειμερινό εξάμηνο 2023-24) (122)

Ύλη του μαθήματος (βλ. οδηγός σπουδών, σελ. 64: http://files.thilikos.info/data/os/OS_2020-2021_current_NEW.pdf)

(α) Διανυσματικός Λογισμός και Εφαρμογές

• Διανύσματα (εφαρμοστά, ελεύθερα, ο χώρος των ελεύθερων διανυσμάτων, πράξεις μεταξύ διανυσμάτων, συγγραμμικά διανύσματα, Ασκήσεις και Εφαρμογές).

• Συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο και στο χώρο (επιλογή συστήματος, εισαγωγή συ­ντεταγμένων, ορθοκανονικά συστήματα). Η χρήση συντεταγμένων στην επίλυση προβλη­μάτων σε σύγκριση με τις μεθόδους των διανυσμάτων (Θεωρήματα Μενελάου, Πάππου, Desargues).

• Εσωτερικό γινόμενο (Διανυσματικός ορισμός, ιδιότητες, αναλυτική έκφραση σε ορθοκανο­νικό σύστημα, η ορθογωνιότητα στο χώρο, προβολές, μήκος).

• Εξωτερικό γινόμενο (Διανυσματικές απαιτήσεις, ορισμός και αναλυτική έκφραση σε ορθοκα­νονικό σύστημα, γεωμετρική ερμηνεία, εφαρμογές)

• Ευθείες και επίπεδα στο χώρο (Οι Γεωμετρικοί ορισμοί και η μετάβαση στα Διανύσματα, Διανυσματικές και Αναλυτικές εξισώσεις, σχετικές θέσεις ευθείας και επιπέδου, καθετότητα).

• Εφαρμογές (απόσταση σημείου από ευθεία και επίπεδο, όγκος πρισμάτων και παραλληλε­πιπέδων, κοινή κάθετος δύο ασύμβατων ευθειών, εμβαδόν τριγώνου στο επίπεδο και στον χώρο).

(β) Αναλυτική Γεωμετρία στο Επίπεδο

• Αλλαγή ορθοκανονικών συντεταγμένων (Τύπος).

• Η εξίσωση της ευθείας στο επίπεδο και εφαρμογές (Απλός και Διπλός λόγος, συντρέχουσες ευθείες, συνευθειακά σημεία, τα κλασικά θεωρήματα).

• Προσανατολισμός στο επίπεδο ημιεπίπεδα.

• Κωνικές τομές (Το θεώρημα του Dandelin, καθολική ιδιότητα, αναλυτικές εξισώσεις σε καρ­τεσιανές και πολικές συντεταγμένες, εφαπτόμενες, βασικές ιδιότητες και εφαρμογές).

• Η εξίσωση 2ου βαθμού στο επίπεδο (αναγωγή της εξίσωσης, κανονική μορφή, αναλλοίωτες).

(γ) Στοιχεία από τη Γεωμετρία στο χώρο

• Ορθοκανονικά συστήματα συντεταγμένων στο χώρο.

• Προσανατολισμός στο χώρο, ημιχώρος.

• Παραδείγματα επιφανειών 2ου βαθμού (επιφάνειες εκ περιστροφής, σφαίρα, κύλινδροι, κώ­νοι και εφαρμογές).