ΘΜ-01 Ανάλυση Ι
Δημήτρης Γατζούρας, Απόστολος Γιαννόπουλος
Αυτή η e-class περιέχει διδακτικό υλικό για το μεταπτυχιακό μάθημα Ανάλυση Ι που διδάσκεται στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αθηνών.
ΛιγότεραΑυτή η e-class περιέχει διδακτικό υλικό για το μεταπτυχιακό μάθημα Ανάλυση Ι που διδάσκεται στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αθηνών.
Αυτή η e-class περιέχει διδακτικό υλικό για το μεταπτυχιακό μάθημα Ανάλυση Ι που διδάσκεται στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αθηνών.
Περίγραμμα
Θ1. Ανάλυση Ι (μεταπτυχιακό)
- Κλάσεις συνόλων (άλγεβρες, σ-αλγεβρες).
- Χώροι μέτρου, πλήρεις χώροι μέτρου.
- Εξωτερικά μέτρα (η έννοια του εξωτερικού μέτρου, το εξωτερικό μέτρο Lebesgue).
- Μέτρο Lebesgue και μέτρα Lebesgue--Stieltjes.
- Μετρήσιμες συναρτήσεις, απλές συναρτήσεις.
- Ολοκλήρωμα (ολοκλήρωμα μετρήσιμης συνάρτησης, θεώρημα μονότονης σύγκλισης, θεώρημα Beppo-Levi, λήμμα Fatou, θώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue).
- Σχέση ολοκληρώματος Lebesgue με ολοκλήρωμα Riemann.
- Τρόποι σύγκλισης ακολουθιών μετρήσιμων συναρτήσεων (βασικές έννοιες και προτάσεις, θεωρήματα Egorov και Riesz).
- Μέτρα γινόμενο και θεώρημα Fubini (ορισμός του μέτρου γινόμενο και ολοκλήρωση ως προς αυτό).
- Το n-διάστατο μέτρο Lebesgue, τύπος αλλαγής μεταβλητής, ολοκλήρωση σε πολικές συντεταγμένες.
- Συνέλιξη. Εισαγωγή στον μετασχηματισμό Fourier.
- Οι χώροι Lp (κυρτές συναρτήσεις και η ανισότητα Jensen, ανισότηες Holder και Minkowski, ορισμός και βασικές ιδιότητες των χώρων Lp(μ). προσέγγιση με συνεχείς συναρτήσεις. τα βασικά θεωρήματα παρεμβολης Marcinkiewicz και Riesz--Thorin).
- Θεώρημα Radon--Nikodym και εφαρμογές. Απολύτως συνεχείς συναρτήσεις. Θεώρημα παραγώγισης Lebesgue.
Βιβλιογραφία
1. G. B. Folland: Real Analysis --- Modern Techniques and their Applications, John Wiley & Sons.
2. W. Rudin: Real and Complex Analysis, McGraw-Hill.
3. H. L. Royden: Real Analysis, Macmillan Publishing Company.
Πρόσθετη Βιβλιογραφία
1. Γ. Κουμουλλής και Σ. Νεγρεπόντης: Θεωρία Μέτρου, Εκδόσεις Συμμετρία.
2. D. L. Cohn: Measure Theory, Birkhauser.
3. E. M. Stein and R. Shakarchi: Real Analysis: Measure Theory, Integration and Hilbert Spaces, Princeton University Press.
4. P. Billingsley: Probability and Measure, John Wiley & Sons.
- Κλάσεις συνόλων (άλγεβρες, σ-αλγεβρες).
- Χώροι μέτρου, πλήρεις χώροι μέτρου.
- Εξωτερικά μέτρα (η έννοια του εξωτερικού μέτρου, το εξωτερικό μέτρο Lebesgue).
- Μέτρο Lebesgue και μέτρα Lebesgue--Stieltjes.
- Μετρήσιμες συναρτήσεις, απλές συναρτήσεις.
- Ολοκλήρωμα (ολοκλήρωμα μετρήσιμης συνάρτησης, θεώρημα μονότονης σύγκλισης, θεώρημα Beppo-Levi, λήμμα Fatou, θώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue).
- Σχέση ολοκληρώματος Lebesgue με ολοκλήρωμα Riemann.
- Τρόποι σύγκλισης ακολουθιών μετρήσιμων συναρτήσεων (βασικές έννοιες και προτάσεις, θεωρήματα Egorov και Riesz).
- Μέτρα γινόμενο και θεώρημα Fubini (ορισμός του μέτρου γινόμενο και ολοκλήρωση ως προς αυτό).
- Το n-διάστατο μέτρο Lebesgue, τύπος αλλαγής μεταβλητής, ολοκλήρωση σε πολικές συντεταγμένες.
- Συνέλιξη. Εισαγωγή στον μετασχηματισμό Fourier.
- Οι χώροι Lp (κυρτές συναρτήσεις και η ανισότητα Jensen, ανισότηες Holder και Minkowski, ορισμός και βασικές ιδιότητες των χώρων Lp(μ). προσέγγιση με συνεχείς συναρτήσεις. τα βασικά θεωρήματα παρεμβολης Marcinkiewicz και Riesz--Thorin).
- Θεώρημα Radon--Nikodym και εφαρμογές. Απολύτως συνεχείς συναρτήσεις. Θεώρημα παραγώγισης Lebesgue.
1. G. B. Folland: Real Analysis --- Modern Techniques and their Applications, John Wiley & Sons.
2. W. Rudin: Real and Complex Analysis, McGraw-Hill.
3. H. L. Royden: Real Analysis, Macmillan Publishing Company.
Πρόσθετη Βιβλιογραφία
1. Γ. Κουμουλλής και Σ. Νεγρεπόντης: Θεωρία Μέτρου, Εκδόσεις Συμμετρία.
2. D. L. Cohn: Measure Theory, Birkhauser.
3. E. M. Stein and R. Shakarchi: Real Analysis: Measure Theory, Integration and Hilbert Spaces, Princeton University Press.
4. P. Billingsley: Probability and Measure, John Wiley & Sons.
