Μάθημα : ΘΜ-01 Ανάλυση Ι

Θ1. Ανάλυση Ι (μεταπτυχιακό)

• Κλάσεις συνόλων (άλγεβρες, σ-αλγεβρες).
• Χώροι μέτρου, πλήρεις χώροι μέτρου.
• Εξωτερικά μέτρα (η έννοια του εξωτερικού μέτρου, το εξωτερικό μέτρο Lebesgue).
• Μέτρο Lebesgue και μέτρα Lebesgue--Stieltjes.
• Μετρήσιμες συναρτήσεις, απλές συναρτήσεις.
• Ολοκλήρωμα (ολοκλήρωμα μετρήσιμης συνάρτησης, θεώρημα μονότονης σύγκλισης, θεώρημα Beppo-Levi, λήμμα Fatou, θώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue).
• Σχέση ολοκληρώματος Lebesgue με ολοκλήρωμα Riemann.
• Τρόποι σύγκλισης ακολουθιών μετρήσιμων συναρτήσεων (βασικές έννοιες και προτάσεις, θεωρήματα Egorov και Riesz).
• Μέτρα γινόμενο και θεώρημα Fubini (ορισμός του μέτρου γινόμενο και ολοκλήρωση ως προς αυτό).
• Το n-διάστατο μέτρο Lebesgue, τύπος αλλαγής μεταβλητής, ολοκλήρωση σε πολικές συντεταγμένες.
• Συνέλιξη.  Εισαγωγή στον μετασχηματισμό Fourier.
• Οι χώροι L^p (κυρτές συναρτήσεις και η ανισότητα Jensen, ανισότηες Holder και Minkowski, ορισμός και βασικές ιδιότητες των χώρων L^p(μ)^. προσέγγιση με συνεχείς συναρτήσεις^. τα βασικά θεωρήματα παρεμβολης Marcinkiewicz και Riesz--Thorin).
• Θεώρημα Radon--Nikodym και εφαρμογές.  Απολύτως συνεχείς συναρτήσεις.  Θεώρημα παραγώγισης Lebesgue.

Βιβλιογραφία

1. G. B. Folland: Real Analysis --- Modern Techniques and their Applications, John Wiley & Sons.

2. W. Rudin: Real and Complex Analysis, McGraw-Hill.

3. H. L. Royden: Real Analysis, Macmillan Publishing Company.

Πρόσθετη Βιβλιογραφία

1. Γ. Κουμουλλής και Σ. Νεγρεπόντης: Θεωρία Μέτρου, Εκδόσεις Συμμετρία.

2. D. L. Cohn: Measure Theory, Birkhauser.

3. E. M. Stein and R. Shakarchi: Real Analysis: Measure Theory, Integration and Hilbert Spaces, Princeton University Press.

4. P. Billingsley: Probability and Measure, John Wiley & Sons.