Μάθημα : Δ27. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Το μάθημα αποτελείται από τέσσερεις ενότητες. Η πρώτη αναφέρεται στην Ευκλείδεια (Ε.Γ) και τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες (Υπερβολική - Ελλειπτική), με έμφαση στη σύγχρονη αξιωματικοποίηση της Γεωμετρίας και των έλεγχο των απαιτήσεών ενός καλά δομημένου αξιωματικού συστήματος  μέσω των μοντέλων.

Στη δεύτερη ενότητα γίνεται μια σύντομη εισαγωγή στην Προβολική Γεωμετρία (Π.Γ), που αποτελεί παράδειγμα μιας γενικότατης μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Η μελέτη είναι κυρίως συνθετική, και πολλά συμπεράσματα της Π.Γ συγκρίνονται με αντίστοιχα της Ε.Γ. Η προσέγγιση του πραγματικού προβολικού επιπέδου μέσω ομογενών συντεταγμένων αποτελεί ένα πρώτο παράδειγμα αλγεβροποίησης της Π.Γ.

Η τρίτη ενότητα περιέχει, ως εφαρμογή του Διαφορικού Λογισμού, τη μελέτη της καμπυλότητας και της στρέψης μιας διαφορίσιμης καμπύλης, μέσω των οποίων προκύπτουν γεωμετρικές πληροφορίες γι' αυτήν. Έτσι γενικεύεται η γεωμετρική μελέτη (μέσω παραγώγων) του γραφήματος μιας συνήθους πραγματικής συνάρτησης πραγματικής μεταβλητής.

Η τέταρτη ενότητα περιέχει μια πολύ σύντομη περιγραφή των Επιφανειών του χώρου R^3, του θεωρήματος Egregium του Gauss και της συνακόλουθης  "εσωτερικής  γεωμετρίας", μιας επιφάνειας. Κατόπιν εισάγεται η έννοια της Διαφορικής Πολλαπλότητας, απόρροια των ριζοσπαστικών αντιλήψεων του Riemann για τη γεωμετρία και τον χώρο. Τέλος, περιγράφεται ο χωρόχρονος της θεωρίας της Σχετικότητας του Einstein (Ειδικής και Γενικής) με τη γλώσσα των πολλαπλοτήτων.

Οι σημειώσεις περιέχουν τις λύσεις των περισσοτέρων ασκήσεων.

Για το μάθημα διατίθενται οι σημειώσεις ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ, που αποτελούν νεότερες εκδόσεις (με συμπληρώσεις και διορθώσεις) παλαιοτέρων σημειώσεων με τίτλο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ. Οι δύο τελευταίες εκδόσεις των "Θεμάτων" έχουν αναρτηθεί στα Έγγραφα.