Μαθηματικά της Αγοράς και της Παραγωγής: Αναλογιστικά Μαθηματικά - Θεωρία Κινδύνου

Δημήτρης Χελιώτης, Κ. Μηλολιδάκης

Περιγραφή

Στόχος μας είναι να καλύψουμε τα παρακάτω θέματα

 1) Θεωρία Ωφελιμότητας

 2) Ασφαλιστικά σχήματα

 3) Ατομικό και συλλογικό πρότυπο

 4) Θεωρία Χρεοκοπίας

Θα χρησιμοποιήσουμε τα βιβλία

(1) Αναλογιστικά Μαθηματικά. Μέρος Ι. Θεωρία των κινδύνων. Κ. Ι. Κουτσόπουλου. Η ύλη είναι περίπου τα κεφάλαια 1 ως 11.

(2) B. Kaas, M. Goovaerts, J. Dhaene, M. Denuit (2009), Modern Actuarial Risk Theory Using R, 2nd Ed, Springer. Η ύλη είναι περίπου τα κεφάλαια 1 έως και 4.

 

Κωδικός: MATH314
Σχολή - Τμήμα: Μαθηματικών » Μεταπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών

Ενότητες

Σε αυτόν τον φάκελλο συγκεντρώνονται οι παραπομπές από το μάθημα του Κ. Μηλολιδάκη. Στο μάθημα ακολουθείται το βιβλίο "Modern Actuarial Risk Theory", που έχει δοθεί στη βιβλιογραφία, και σκοπός του ημερολογίου είναι να μπορεί να γίνει η αντιστοίχιση της ύλης που καλύπτεται στην τάξη με την ύλη του βιβλίο.

......................................................................................................

Ακολουθεί ημερολόγιο των μαθημάτων.

Τετάρτη, 3 Απριλίου: (Κεφάλαιο 1, Ασφάλειες και Θεωρία Ωφέλειας) Γενικά για τη θεωρία της ωφέλειας (ωφελιμότητας), παραδείγματα, σκιαγράφηση του θεωρήματος του Von Neumann περί μεγιστοποίησης της αναμενόμενης ωφέλειας. Χαρακτηριστικές συναρτήσεις ωφέλειας, κινδυνοφιλία και κινδυνοφοβία, ουδετερότητα προς τον κίνδυνο. Ανισότητα Jensen, εύρεση μέγιστου P^+ (αντ. ελάχιστου P^-) ασφαλίστρου που θα δεχτεί να πληρώσει (αντ. πληρωθεί) ο ασφαλιζόμενος (αντ. ο ασφαλιστής) για να ασφαλίσει κάποιο κίνδυνο. Συντελεστής αποστροφής κινδύνου. Εύρεση των P^+ και P^- για την εκθετική συνάρτηση ωφέλειας και συσχετισμός τους με τον συντελεστή αποστροφής κινδύνου. Κίνδυνοι μη επιδεχόμενοι ασφάλισης. Εισαγωγικά πάνω στο σχήμα αντασφάλισης "ανακοπής ζημίας".

Τετάρτη, 10 Απριλίου: (Κεφάλαιο1, συνέχεια) Μετασχηματισμός ανακοπής ζημίας (stop loss transform), τύπος, ιδιότητες, γράφημα. Θεώρημα βελτιστότητας της αντασφάλισης ανακοπής ζημίας για τον ασφαλιζόμενο. (Κεφάλαιο 2, Το Ατομικό Πρότυπο Κινδύνου) Ορισμός του προβλήματος, κατασκευή μεικτής τ.μ. που προκύπτει από κλήρωση μεταξύ μιας διακριτής και μιας απολύτως συνεχούς τ.μ., πιθανοθεωρητικές ιδιότητες αυτής της τ.μ. Επανάληψη από τις Πιθανότητες όσο αφορά το άθροισμα δύο ανεξάρτητων τ.μ. Απόδειξη ότι η σ.π. του αθροίσματος είναι η συνέλιξη των σ.π. των δύο τ.μ. στην περίπτωση απολύτως συνεχών τ.μ.

Τετάρτη, 17 Απριλίου: (Κεφάλαιο 2, συνέχεια και τέλος) Επισήμανση της διαφοράς μεταξύ των μοντέλων Ζ=ΙΧ+(1-Ι)Υ (αυτό χρησιμοποιούμε) και του μοντέλου μείξης Ζ=qΧ+(1-q)Υ. Παραδείγματα από το βιβλίο: Παράδειγμα ασφάλισης κλοπής ποδηλάτου, Παράδειγμα εκθετικής κατανομής της αποζημίωσης, εφόσον υπάρξει ζημία, Παράδειγμα συμβολαίου με ταυτόχρονη ανακοπή ζημίας και deductible (Παρ. 2.2.5). Προσέγγιση της κατανομής ενός αθροίσματος μέσω του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Εδάφιο 2.6 βιβλίου) και εύρεση της βέλτιστης αντασφάλισης. Τέλος, έγινε επανάληψη στις ροπογεννήτριες από τη θεωρία Πιθανοτήτων.

Τετάρτη, 25 Απριλίου: (Κεφάλαιο 3) Σύνθετες Κατανομές (κατανομές αθροισμάτων τοιχαίου μήκους ανεξάρτητων και ισόνομων τ.μ., όπου το μήκος Ν του αθροίσματος είναι ανεξάρτητο από τις αθροιζόμενες τ.μ.) Ερμηνεία των σύνθετων κατανομών στη Θεωρία Κινδύνου (συλλογικό πρότυπο). Εύρεση μέσης τιμής, διασποράς και ροπογεννήτριας μιας σύνθετης κατανομής. Η περίπτωση της σύνθετης γεωμετρικής κατανομής, όταν οι αθροιζόμενες τ.μ. είναι εκθετικά κατανεμημένες. Χρήση συνέλιξης για τον υπολογισμό της σ.κ. και της σ.π. μιας σύνθετης κατανομής. Σύνθετες κατανομές Poisson: το άθροισμα σύνθετων Poisson είναι σύνθετη Poisson με παράμετρο το άθροισμα των παραμέτρων καi κατανομή των αιτήσεων αποζημίωσης (claim distribution) τον weighted average των επιμέρους κατανομών. Εφαρμογή στην περίπτωση που οι αιτήσεις αποζημίωσης κάθε επί μέρους Poisson παίρνουν σταθερές τιμές. Το αντίστροφο: Ανάλυση μιας σύνθετης Poisson με διακριτή κατανομή των αιτήσεων αποζημίωσης σε άθροισμα σύνθετων Poisson με σταθερές αιτήσεις αποζημίωσης. Προσέγγιση του ατομικού προτύπου από το συλλογικό πρότυπο-εξέταση της κανονικής συλλογικής προσέγγισης. (Κεφάλαιο 4, αρχικά) Ορισμός της διαδικασίας (ανέλιξης) πλεονάσματος (ή κινδύνου). Επανάληψη από τις Πιθανότητες βασικών στοιχείων από την ανέλιξη Poisson.