Μάθημα : Μηχανική ΙΙ

Αρχή Ελάχιστης/Στάσιμης Δράσης

Διερεύνηση της σχέσης της αρχής στάσιμης δράσης για τα μηχανικά συστήματα με το 2ο νόμο του Νεύτωνα.

Ερωτήσεις και Περιγραφή άσκησης περί διερεύνησης της αρχής του Hamilton

Συζήτηση επί των ασκήσεων. Ανάγκη εξάρτησης της \(L\) από την ταχύτητα, ως ανεξάρτητη συνάρτηση από τη θέση. Στασιμοποιήση δράσης για σύστημα με πολλούς βαθμούς ελευθερίας. Προβλήματ: σφαιρικό εκκρεμές, βραχυστόχρονο.

Λαγκρανζιανή ελευθέρου σωματιδίου με βάση την αρχή του Hamilton και τις συμμετρίες του Σύμπαντος. Επέκταση σε 2 ελεύθερα σωματίδια. Περαιτέρω επέκταση σε 2 αλληλεπιδρώντα σωματίδια. Γιατί πρέπει η Λαγκρανζιανή να εξαρτάται οπωσδήποτε από την ταχύτητα; Εξάρτηση της Λαγκρανζιανής από ανώτερες παραγώγους, από την ταχύτητα. Επαναδιατύπωση της αρχής του Hamilton.

Ασκήσεις (του 1ου σετ)

Οι έννοιες των γενικευμένων ορμών δυν΄μεων κι η "ανσύνθεση" του 2ου νόμου του Νεύτωνα σε γενικευμένη μορφή. Η ανεξαρτησία των μετασχηματισμών Euler-Lagrange από το είδος των συντεταγμένων που χρησιμοποιούνται. Το τρυκ του Landau για την κατασκευή μιας Λαγκρανζιανής και ειδικά της κινητικής ενέργειας σε νέες συντεταγμένες (η δυναμική ενέργεια απλοποιείται απλώς στις κατάλληλες συντεταγμένες). Παράδειγμα: Κατασκευή και ανάλυση των εξισώσεων κίνησης σωματιδίου σε σφαιρικό μπωλ.

Κατασκευή της Λαγκρανζιανής φορτισμένου σωματιδίου σε αυθαίρετο Η/Μ πεδίο. Μοναδικότητα της Λαγκρανζιανής σε συνάρτηση της μοναδικότητας ή μη των πεδίων. Δίσκος του Feynman.

Περί του ανυσματικού δυναμικού και της μη μοναδικότητας αυτού. Αλληλεπιδρώντες Η/Μ δίσκοι-ρεύματα.

Δεσμοί. Φυσική και μη φυσική Λαγκρανζιανή. Πολλαπλασιαστές Lagrange.

Περί μη ολόνομων δεσμών.
Συμμετρίες και διατηρήσεις: το θεώρημα της Noether για συνεχείς χωρικούς μετασχηματισμούς. Παραδείγματα.

Περί Λαγκρανζιανών για φυσικά συστήματα που παρουσιάζουν ανάλωση.
Περί μη ολόνομων δεσμών και πως μπορεί κανείς να υπολογίσει την κίνηση των αντίστοιχων συστημάτων χωρίς την κατασκευή "δεσμευμένων" Λαγκρανζιανών αλλά μέσω επιβολής της αρχής του Hamilton σε παρεκκλίσεις συμβατές με τους μη ολόνομους δεσμούς.

...ολίγα λεπτά μόνο.

Περί του ορίσματος της δυναμικής ενέργειας μιας φυσικής αλληλεπίδρασης.
Απειροστές και πεπερασμένες στροφές.
Συμμετρία Λαγκρανζιανής σε μετασχηματισμούς απειροστών στροφών.
Περιστρεφόμενα συστήματα και εξισώσεις κίνησης.

Ολοκλήρωση κάποιων θεμάτων από προηγούμενες διαλέξεις.
Λαγκρανζιανή σωματιδίου σε περιστρεφόμενο σύστημα και αναλογίες με το φορτισμένο σωματίδιο σε μαγνητικό πεδίο.

Αναλογία περιστρεφόμενου συστήματος + ελατήριο με φορτισμένο σωματίδιο σε μαγνητικό πεδίο.
Προβλήματα με δεσμούς.

Ταλαντωτής δύο σωμάτων. Ανάλυση της κίνησης.
Διπλό εκκρεμές. Ανάλυση της Λαγκρανζιανής και γραμμικοποίηση αυτής. Ανάδειξη των 2 τρόπων ταλάντωσης και υπολογισμός των συχνοτήτων αυτών. Συζήτηση για τη γενική κίνηση.

Γενική αντιμετώπιση μηχανικών συστημάτων με κατάσταση(εις) ισορροπίας. Πίνακας κινητικής και δυναμικής ενέργειας. Απαίτηση κατάστασης ισορροπίας. Νέες συντεταγμένες που μετράνε αποκλίσεις από την ισορροπία. Εξισώσεις κίνησης υπό μορφή πινάκων. Ανεύρεση λύσεων. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο.

Παραδείγματα ανάλυσης συστημάτων σε κανονικούς τρόπους ταλάντωσης με χρήση πινάκων.

Συστηματική αντιμετώπιση συστήματος το οποίο διαθέτει μια κατάσταση ισορροπίας. Πραγματικότητα λύσεων χαρακτηριστικού πολυωνύμου (τετραγώνων των ιδιοσυχνοτήτων). Ορθογωνιοποίηση κανονικών τρόπων ταλάντωσης μέσω της μετρικής του πίνακα της κινητικής ενέργειας. Κανονικοποίηση των των τρόπων ταλάντωσης. Σπάσιμο της γραμμικοποιημένης Λαγκρανζιανής σε \(N\) (όσοι οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος) ανεξάρτητους μονοδιάστατους αρμονικούς ταλαντωτές. Εύρεση της γενικής λύσης με χρήση πινάκων για τις αρχικές συνθήκες.

Επανάληψη των βημάτων για τον υπολογισμό και τη χρήση των κανονικών τρόπων ταλάντωσης στην πρόβλεψη της κίνησης ενός σύνθετου συστήματος πέριξ της κατάστασης ισορροπίας του. Ανάλυση των ασταθειών. Σημασία των ασταθειών στην εξέλιξη ενός συστήματος. Πηλίκο Rayleigh και συσχέτιση με ιδιοσυχνότητες και κανονικούς τρόπους ταλάντωσης.

Εφαρμογές - Παραδείγματα χρήσης των κανονικών τρόπων ταλάντωσης: (α) Συζευγμένοι ταλαντωτές με διέγερση (επιτυγχάνεται η ανάλυση μέσω ανάλυσης της διέγερσης στη βάση των κανονικών τρόπων ταλάντωσης). (β) πρβλ Γ της 5/7/21: συσχέτιση των κινήσεων με τα σημεία ισορροπίας και τους τρόπους ταλάντωσης που περιλαμβάνουν και μια μηδενική συχνότητα.
Δεσμευμένες κινήσεις: (α) Κύλιση νομίσματος επί κινούμενου εδάφους, (β) σύστημα τροχαλιών, (γ) ολίσθηση σε καμπύλη επιφάνεια λόγω βαρύτητας μέχρι αποχωρισμού από την επιφάνεια.

Χαμιλτονιανός φορμαλισμός: Ποια η πρακτική ανάγκη μετάβασης από τον Λαγκρανζιανό στο Χαμιλτονιανό φορμαλισμό.
Μετασχηματισμός Legendre και τι πετυχαίνει. Εξισώσεις Χάμιλτον (πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα).

ο χώρος των φάσεων ως ο φυσικός χώρος στον οποίο εκτυλίσσεται η κίνηση του φυσικού συστήματος. Εξισώσεις Hamilton και επίλυση αυτών ως λύση πρωτοτάξιας εξίσωσης. Xamiltonian;ew diaf;orvn gnvst;vn fysik;vn systhm;atvn.

Η κίνηση στο χώρο των φάσεων. Ιδιότητες της κίνησης. Η Χαμιλτονιανή ώς συνάρτηση και το φυσικό της νόημα.

Δυνατότητα αλλαγής της χρονεξάρτησης σε χρονοανεξαρτησία της Χαμιλτονιανής με κατάλληλη επιλογή συντεταγμένων. Θεώρημα Liouville (διατύπωση - απόδειξη). Συνέπεια στην κίνηση στο χώρο των φάσεων.

Αγκύλες Poisson. Γραφή των εξισώσεων Χάμιλτον μέσω αγκυλών Poisson. Χρήση αγκυλών Poisson για εξαγωγή συμπερασμάτων. Μέθοδοι υπολογισμού των αγκυλών. Ιδιότητες των αγκυλών. Ταυτότητα Jacobi (τρυκ του Landau για την απόδειξη αυτού). Οι αγκύλες Poissonαπότελούν παράδειγμα μιας άλγεβρα Lie. Παράδειγμα επίλυσης Χαμιλτονιανού συστήματος και αναπράστασης της ἑξέλιξης"στον 6διάστατο χώρο των φάσεων:φορτισμένο σωματίδιο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο.

Οι εξισώσεις Hamilton από την αρχή στάσιμης δράσης. Η διατύπωση της αρχής στάσιμης δράσης στο χώρο των φάσεων. Οι κανονικοί μετασχηματισμοί ως η μέγιστη επιτρεπόμενη ελευθερία του Χαμιλτονιανού φορμαλισμού. Γεννήτριες (βοηθητικές) συναρτήσεις για την παραγωγή αυτών. Κανονικοί μετασχηματισμοί που οδηγούν στην απλούστερη δυνατή Χαμιλτονιανή \(H=0\) και η δυναμική που πηγάζει από αυτή. Αγκύλες Poisson και κανονικοί μετασχηματισμοί.