Μάθημα : Μηχανική ΙΙ

Διαδικαστικά του μαθήματος. Βιβλιογραφία. Εισαγωγή στην αρχή στάσιμης δράσης κια εφαρμογή αυτής στο ελεύθερο σωματίδιο. Απόδειξη ότι η μοναδική συνάρτηση που έχει την ιδιότητα να μηδενίζεται το ολοκλήρωμά της σε ένα διάστημα, αφού πρώτα πολλαπλασιαστεί με οποιαδήποτε άλλη συνάρτηση, είναι η μηδενική.

Επανάληψη βασικών εισαγωγικών εννοιών. Ιστορία αρχών ελαχίστου (ή στασίμου). Διερέυνηση της αρχής του Χάμιλτον για την κίνηση ενός σώματος σε ομογενές βαρυτικό πεδίο: (α) Μέσω της γνωστής κίνησης και παραλλαγές αυτής, (β) μέσω οικογενειών τροχιών και (γ) μέσω διακριτοποίησης της τροχιάς.
Άσκηση: Μέσω διακριτοποίησης της τροχιάς για κίνηση σωματιδίου σε 1-D σε \(V(x)\) οδηγηθήκαμε από την αρχή του Χάμιλτον στο 2ο νόμο του Νεύτωνα.

2ος Νόμος του Νέυτωνα και δράση περί της φυσικής διαδρομής. Κβαντομηχανική περιγραφή σωματιδίου και αρχη ελάχιστης δράσης. Η κλασική διαδρομή ως πιθανοκρατικά επικρατούσα μεταξύ των μη αποδεκτών κλασικά διαδρομών για ένα κβαντομηχανικό σωματίδιο. Ποσοτικοποίηση της "μη κλασικότητας" μιας διαδρομής στην περίπτωση του ελεύθερου σωματιδίου.
Ασκήσεις: 1) Τι σημαίνει για την \(f(t)\) η απαίτηση μηδενισμού του \(\int_{t_1}^{t_2} \dot{\eta}(t)~ f(t)~ dt \) για κάθε \(\eta(t): \eta(t_1)=\eta(t_2)=0\).
2) Πρόβλημα 6 του βιβλίου Ι&Α. Καθορισμός της κίνησης ενός αρμονικού ταλαντωτή από στασιμοποίηση της δράσης κατόπιν παραμετροποίησης της τροχιάς μέσω συντελεστών Fourier.

Η στασιμοποίηση μιας Λαγκρανζιανής της μορφής \( L(\vec{x},\dot{\vec{x}},t) \) οδηγεί σε ένα πλήθος εξισώσσεων Euler-Lagrange, τόσων, όσοι οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος (δλδ. το πλήθος συντεταγμένων που απαιτείται για την περιγραφή του).
Πρόβλημα: Εύρεση της καμπύλης ελαχίστου μήκους που συνδέει δύο δοσμένα σημεία στο επίπεδο.

Ελευθερίες στην κατασκευή της Λαγκρανζιανήςε. Μετασχηματισμός αναβαθμονόμησης. Γιατί θεωρούμε την εξάρτηση της Λαγκρανζιανής από την ταχύτητα, ως ανεξάρτητη αυτής της θέσης. Κατασκευή του βραχυστοχρόνου.

Αναλλοιότητα των εξισώσεων Euler-Lagrange ως επαναπαραμετροποίηση της στάσιμης διαδρομής και αναλυτικά ως διατήρηση της μορφής των εξισώσεων με χρήση δεικτών. Εφαρμογές: (α) από καρτεσιανές σε πολικές συντεταγμένες, (β) από αδρανειακό σε αδρανειακό σύστημα αναφοράς, (γ) από αδρανειακό σε μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς.

Κατασκευή της Λαγκρανζιανής ελεύθερου σωματιδίου από τις συμμετρίες του σύμπαντος. Πέρασμα σε Λαγκρανζιανές αλληλεπιδρώντων σωματιδίων.

Εύρεση γεωδαισιακών (συντομότερων καμπυλών) σε επιφάνεια σφαίρας. Συζήτηση σχετικά με την εύρεση πολλαπλών λύσεων.

Λαγκρανζιανή σε αναλωτικά μηχανικά συστήματα. Τα αναλωτικά ως μη θεμελιώδη προβλήματα.
Η έννοια της γενικευμένης ορμής και της γενικευμένης δύναμης. Διατήρηση γενικευμένης ορμής σε σωματίδιο υπό την επίδραση αντίστασης γραμμικής ως προς την ταχύτητα.
Κατασκευή της Λαγκρανζιανής φορτισμένου σωματιδίου σε Η/Μ πεδίο. Γενικευμένη ορμή σωματιδίου. Ελευθερία προσδιορισμού της Λαγκρανζιανής λόγω ελευθερίας προσδιορισμού των πεδίων.

Κατασκευή του ανυσματικού δυναμικού ενός ομογενούς μαγνητικού πεδίου (σε καρτεσιανές και κυλινδρικές συντεταγμένες) Ελευθερία προσδιορισμού του ανυσματικού δυναμικού. Κατασκευή της Λαγκρανζιανής του δίσκου του Feynman. Αντιμετώπιση της παρουσίας δεσμών με απλή αντικατάσταση της δοθείσας σχέσης των συντεταγμένων που ικανοποιεί το δεσμό.

Το τρυκ του Landau για τη γραφή μιας Λαγκρανζιανής. Είδη δεσμών (ρεόνομοι-σκληρόνομοι, ολόνομοι-μη ολόνομοι). Το θεωρητικό πρόβλημα αντιμετώπισης των δεσμών με εφαρμογή της εξίσωσης του δεσμού.
Οι πολλαπλασιαστές Lagrange ως εναλλακτική πρόταση κατασκευής Λαγκρανζιανής με δεσμούς.
Οι διατηρήσεις δεν "μετράνε" ως δεσμοί. Παράδειγμα αντίφασης των εξισώσεων Euler-Lagrange στην περίπτωση ακατάλληλης χρήσης.
Η ολίσθηση χάντρας σε μια ορθή έλικα σταθερού βήματος στο ομογενές βαρυτικό πεδίο με τη χρήση πολλαπλασιαστών Lagrange. Εύρεση των αντιδράσεων του δεσμού.
Γεωμετρική λογική των πολλαπλασιαστών Lagrange.

Συζήτηση-ανάλυση του παραδόξου των 2 διαφορετικών Λαγκρανζιανών στο πρόβλημα της χάντρας σε κώνο.
Θεώρημα της Noether (1915). Ορολογία (μετασχηματισμοί-συνεχείς μετασχηματισμοί-μετασχηματισμοί συμμετρία της Λαγκρανζιανής-γεννήτορες συνεχούς μετασχηματισμού).
Σύνδεση συμμετρίας με διατηρούμενες ποσότητες.
Παράδειγμα 1: \( L=\frac{1}{2}\dot{x}^2+\frac{1}{3}\dot{y}^3-\log(3x-2y) \)
Αναζήτηση διατηρούμενης ποσότητας με γεννήτορες σταθερούς αριθμούς, και γραμμικές συναρτήσεις των \(x,y,t\).
Παράδειγμα 2: Ν αλληλεπιδρώντα σωματίδια. Γεννήτορες μεταθέσεων και διατηρούμενη ολική ορμή.

Κατασκευή μετασχηματισμού πεπερασμένης στροφής διανύσματος γύρω από δοσμένο άξονα.

Μη ολόνομοι Δεσμοί
Μετασχηματισμοί πεπερασμένων και απειροστών στροφών. Πίνακας στροφής σε 3D.
Διατήρηση στροφορμής λόγω συμμετρίας σε απειροστές στροφές.
Γενικευμένο θεώρημα της Noether. Διατήρηση ενέργειας.

Γαλιλαϊκή συμμετρία ως παράδειγμα ημισυμμετρίας και διατήρηση της αρχικής θέσης του ΚΜ.
Περιστρεφόμενα συστήματα και μελέτη σωματιδίων σε αυτά. Παραβολοειδής επιφάνεια νερού σε περιστρεφόμενο δοχείο.
Προβλήματα: (1) Ολίσθηση σώματος σε σφαιρική επιφάνεια, (2) Κίνηση σώματος σε κεκλιμμένο επίπδο κινούμενο κατακορύφως. (2) Κύλιση κυλίνδρου σε κινούμενο οριζόντιο δάπεδο (πέραν του τέλους του video). \( L=\frac{1}{2}I \dot{\theta}^2+ \frac{1}{2} M (\dot{x}+\dot{X}(t))^2+\lambda(x-R \theta) \) όπου \(X(t)\) η δοσμένη συνάρτηση κίνησης του δαπέδου και \(x-R \theta=0\) ο δεσμός της κύλισης. Λύνοντας τις εξισώσεις κίνησης μπορούμε να μελετήσουμε από την θέση \(x+X(t)\) του κυλίνδρου, την ποσότητα \(I/(M R^2)\) που συνδέεται με την κατανομή μάζας στο εσωτερικό του κυλίνδρου.

(1ο-2ο Μέρος) Μικρές ταλαντώσεις - κανονικοί τρόποι ταλάντωσης
Μηχανικά συστήματα με κατάσταση ισορροπίας.
Γενική μορφή Λαγκρανζιανής. Εύρεση κατάστασης ισορροπίας. Γραμμικοποίηση της Λαγκρανζιανής γύρω από την κατάσταση ισορροπίας. Πίνακες κινητικής και δυναμικής ενέργειας. Συμμετροποίηση πινάκων, εξισώσεις Euler-Lagrange. Μελέτη του διπλού εκκρεμούς (Λαγκρανζιανή - εξισώσεις κίνησης - καταστάσεις ισορροπίας - αλλαγή συντεταγμένων σε αποκλίσεις από την κατάσταση ισορροπίας - γραμμικοποιημένη Λαγκρανζιανή - γραφή με πίνακες).

(3ο μέρος) Λύση προβλημάτων προόδου.

Ανάλυση των κανονικών τρόπων ταλάντωσης του διπλού εκκρεμούς.
Εύρεση ιδιοσυχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης. "Ταλαντώσεις" που δεν έιναι ταλαντώσεις λόγως αρνητικών \(\omega^2\). Περιγραφή ασταθειών. Κατασκευή γενικής λύσης.

Ιδιότητες των κανονικών τρόπων ταλάντωσης:
Λόγω ερμιτιανότητας (συμμετρικότητας) των πινάκων κινητικής και δυναμικής ενέργειας οι ιδιοσυχνότητες έχουν τετράγωνο πραγματικό (ταλαντώσεις ή εκθετικές αποκλίσεις).
Λόγω συμμετρικότητας των πινάκων κινητικής και δυναμικής ενέργειας οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσεις είναι ορθογωνιοποιημένοι με μετρική τον πίνακα της κινητικής ενέργειας.
Οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσεις μπορούν να αποτελέσουν μια ορθοκανονική βάση στο χώρο των λύσεων.
Η αρχική Λαγκρανζιανή μπορεί να γραφεί (μέσω των κανονικών τρόπων ταλάντωσης) ως άθροισμα από ανεξάρτητες Λαγκρανζιανές μονοδιάστατων αρμονικών ταλαντωτών.
Χρήση των αρικών συνθηκών στην κατασκευή της γενικής λύσης.
Επίλυση προβλήματος με 3 σώματα και 2 ελατήρια επί μιας ευθείας. Συζήτηση για τρόπο ταλάντωσης με μηδενική συχνότητα.

Χαμιλτονιανή: Γιατί ο Λαγκρανζιανός φορμαλισμός είναι δύσκλος να εφαρμοστεί στον πρακτικό υπολογισμό εξέλιξης ενός συστήματος βήμα-βήμα.
Ο μετασxηματισμός Legendre αντικαθιστά την εξίσωση \(p=\partial L/\partial v\) με την \(v=\partial H/\partial p\).
Γιαί δουλεύει ο μεασχηματισμός Legendre.
Εξισώσεις Χάμιλτον. Συμπλεκτική δομή αυτών.
Παραδείγματα Χαμιλτονιανών συναρτήσεων: Ελεύθερου σωματιδίου σε 3 διαστάσεις. Αρμονικός ταλαντωτής. Φορτισμένο σωματίδιο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο. Ελεύθερο σχετικιστικό σωματίδιο.

Ο μετασχηματισμός Legendre μας μεταφέρει από τη Λαγκρανζιανή στη Χαμιλτονιανή και από τη Χαμιλτονιανή στη Λαγκρανζιανή.
Χώρος φάσεων. Οι συζυγείς ορμές μαζί με τις αντίστοιχες θέσεις είναι οι συντεταγμένες του χώρου των φάσεων. Η κίνηση (εξέλιξη) του συστήματος διαγράφεται σε αυτόν τον \(2 N\)-διάστατο χώρο (όπου \(N\) οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος.
Η γραμμή που διαγράφει το σύστημα στον χώρο των φάσεων ούτε κόβεται από άλλη γραμμή, ούτε εφάπτεται σε άλλη γραμμή (αν η Χαμιλτονιανή είναι χρονοανεξάρτητη) λόγω μοναδικότητας της λύσης από δοσμένες αρχικές συνθήκες.
Αναπαράσταση της κίνησης στο χώρο των φάσεων ενός δισδιάστατου αρμονικού ταλαντωτή. Περιελίξεις πάνω σε τόρο.
Μελέτη της εξέλιξης ενός ταλαντωτή μέσω των εξισώσεων Χάμιλτον νευτώνεια και χαμιλτονιανά(=αντιμετωπίζοντας τις δύο συντεταγμένες ισοδυνάμως). Εκθετική συνάρτηση πίνακα.
Θεώρημα Liouville. Απόδειξη και φυσική ερμηνεία ενός χωρίου στο χώρο των φάσεων.

Το εκκρεμές ως παράδειγμα μελέτης της κίνησης συστήματος στο χώρο των φάσεων. Οι κινήσεις εκτελούνται σε γραμμές σταθερής τιμής της \(H\) με φορά που υποδεικνύεται από τις εξισώσεις Χάμιλτον. Οι συμπεριφορά αυτών των γραμμών κοντά στο σημείο ισορροπίας, κοντά στα σημεία μηδενισμού της ορμής. Η διαχωρίζουσα ως το σύνορο μεταξύ αέναων περιστροφικών και ταλαντωτικών λύσεων.
Εξίσωσεις Χάμιλτον από την αρχή στάσιμης δράσης.
Ελευθερία επαναγραφής της Χαμιλτονιανής σε νέες συντεταγμένες, μέσω βοηθητικών συναρτήσεων (=Κανονικοί Μετασχηματισμοί). Παράδειγμα ενανασχεδιασμού της Χαμιλτονιανής αρμονικού ταλαντωστή από \( H(q,p)=\frac{1}{2}(p^2+q^2) \) σε \(H(Q,P,t)=0\).

Κίνηση σβούρας (αξονικά συμμετρικού σώματος) εκτός και εντός ομογενούς βαρυτικού πεδίου. Γωνίες Euler \(\psi,\theta,\phi\), διατηρούμενες ορμές, Χαμιλτονιανή, εξισώσεις Hamilton, αναγωγή σε μονοδιάστατο πρόβλημα σε δυναμικό \(V(\theta)\). Ισορροπία, μετάπτωση, κλυδωνισμός.
Αγκύλες Poisson, ως περιγραφή της δυναμικής ενός σώματος στο χώρο των φάσεων, και ως διαφορικοί τελεστές.
Ιδιότητες αγκυλών Poisson - άλγεβρα Lie.
Αγκύλες Poisson μεταξύ συντεταγμένων στο χώρο των φάσεων.

Κανονικοί μετασχηματισμοί που κατασκευάζονατι με μια υποθετική Χαμιλτονιανή, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν τη χρονική εξέλιξη ενός οποιουδήποτε Χαμιλτονιανού συστήματος.
Οι κανονικοί μετασχηματισμοί ιδωμένοι ως αποτέλεσμα συνεχών απειροστών μετασχηματισμών που παράγονται από τον τελεστή \({\cal D}_{W}=\{~,W\}\). Οι μετασχηματισμοί αυτοί διατηρούν την τιμή των αγκυλών \(\{Q_a,Q_b\},\{ P_a,P_b\}, \{Q_a. P_b\}\).
Υπολογισμός της αγκύλης Poisson \(\{A,B\}\) στις συντεταγμένες \(q,p\0 και \(Q,P\). Χρήση του συμπλεκτικού πίνακα \(\Gamma\) για να δειχτεί η ισότητα (αναλλοιώτητα) των παραπάνω αγκυλών.
Γεωμετρική ερμηνεία της αγκύλης Poisson που παράγεται από την \(\{~,L_i\}\) και συσχέτιση με τον γεννήτορα των στροφών.

Ασκήσεις από όλες τις θεματικές ενότητες: Αρχή στάσιμης δράσης. Κατασκευή Λαγκρανζιανής και δεσμοί. Θεώρημα Noether. Φορτισμένα σωματίδια σε Η/Μ πεδίο. Κανονικοί τρόποι ταλάντωσης. Χαμιλτονιανές - αγκύλες Poisson - Κανονικοί μετασχηματισμοί.