Μάθημα : Μηχανική ΙΙ

Λύθηκε-συζητήθηκε το πρόβλημα 2.7 περί καμπύλωσης του φωτός σε μέσο με μεταβαλλόμενο δείκτη διάθλασης
και τη σύνδεση με το φαινόμενο της βαρυτικής "στρέβλωσης" του φωτός που προκύπτει από τη γενική θεωρία της σχετικότητας καθώς και το φαινόμενο των βαρυτικών φακών.

Θεώρημα της Noether. Συμμετρίες της δράσης. Μετασχηματιμοί και γεννήτορες αυτών. Σύνδεση συμμετριών με διατηρούμενα μεγέθη. Διατήρηση της ολικής ορμής αλληλεπιδρώντων σωματιδίων ως απόρροια της συμμετρίας της Λαγκρανζιανής (και της δράσης) σε χωρικές μεταθέσεις. Πρβλ. 5.4 και 5.6.

Γενικευμένο Θεώρημα Noether. Χωρο-χρονικοί μετασχηματισμοί συντεταγμένων. Διατήρηση ενέργειας εξαιτίας χρονο-ανεξαρτησίας Λαγκρανζιανών. Ολοκλήρωμα Jacobi.

Στροφές: Απειροστές και πεπερασμένες. Διανυσματική λειτουργία των απειροστών στροφών. Μη μεταθετικότητα των πεπερασμένων στροφών. Απειροστές στροφές ως συμμετρία της Λαγκρανζιανής συστήματος αλληλεπιδρώντων σωματιδίων (απαιτείται όχι μόνο οι δυνάμεις δράσεις-αντίδρασης να είναι αντίθετες, αλλά και στη διευθυνση που συνδέει τα δύο σωματίδια). Διατήρηση της στροφορμής, ως συνέπεια της συμμετρίας σε στροφές.

Ανάλυση της Λαγκρανζιανής και των εξισώσεων κίνησης σωματιδίου σε δυναμικό, σε περιστρεφόμενο σύστημα. Σχετικό πρόβλημα, ανάλυση της κίνησης του εκκρεμούς του Foucault. Εισαγωγή στους κανονικούς τρόπους ταλάντωσης. Περιγραφή της Λαγκρανζιανής 3 σύνθετων συστημάτων (Α) 2 μάζες και 3 ελατήρια στη σειρά, (Β) διπλό εκκρεμές, (Γ) ένας σύνθετος πολυταλαντωτής. Συζήτηση περί κατάστασης ισορροπίας και γραμμικοποιημένης Λαγκρανζιανής.

Γιατί η γραμμικοποίηση ενός συστήματος με πολλούς βαθμούς ελευθερίας γύρω από μια κατάσταση ισορροπίας παίρνει διγραμμική μορφή. Διευκρίνηση: Η γραμμικοποιημένη Λαγκρανζιανή περιγράφει αξιόπιστα ένα φυσικό σύστημα, ενόσω αυτό βρίσκεται κοντά σε κατάσταση ισορροπίας. Ανάλυση του διπλού εκκερμούς: Συζήτηση για την πλήρη Λαγκρανζιανή του και την χαοτικότητα των δυνατών κινήσεών του. Γραμμικοποίηση αυτής γύρω από τις 4 καταστάσεις ισορροπίας. Πίνακας κινητικής κια δυναμικής ενέργειας. Εξισώσεις Euler-Lagrange υπό μορφή πινάκων.

Στο 50:22 κατά λάθος έγραψα \(x_j\) αντί \(\dot{x_j}\) όπως μου επισήμανε κάποιος συνάδελφός σας.

Διευκρινίσεις σχετικά τη γραμμικοποιημένη Λαγκρανζιανή. Πώς βρίσκουμε τις καταστάσεις ισορροπίας. Χρήση πινάκων για τη γραφή της γραμμικοποιημένης Λαγκρανζιανής και των εξισώσεων Euler-Lagrange. Συζήτηση περί πινάκων-ιδιοανυσμάτων-ιδιοτιμών και γεωμετρική τους ερμηνεία. Κατασκευή των ιδιοσυχνοτήτων και των κανονικών τρόπων ταλάντωσης του φυσικού συστήματος γύρω από κάποια θέση ισορροπίας. Υπολογισμός των ιδιοσυχνοτήτων και των τρόπων ταλάντωσης του διπλού εκκρεμούς. Γενική λύση αυτού.

Ιδιότητες των κανονικών τρόπων ταλάντωσης. Ανάλυση της Λαγκρανζιανής σε ανεξάρτητους αρμονικούς ταλαντωτές. Μελέτη των ασταθειών και συσχέτιση με μη θετικό πίνακα δυναμικής ενέργειας.

Πολλαπλασιαστές Lagrange. Φυσικά συστήματα με δεσμούς. Προβλήματα.

Χαμιλτονιανός φορμαλισμός, Χαμιλτονιανή συνάρτηση, Εξισώσεις Hamilton, Χώρος φάσεων. Παραδείγματα φυσικών συστημάτων.

Περί αρχής του Χάμιλτον και σχέσης με τη Φυσική. Διάφορες αρχές ελαχίστου. Έλεγχος της αρχής του Hamilton για άνοδο και κάθοδο στο βαρυτικό πεδίο.

Χαμιλτονιανή συνάρτηση για σύστημα με παραπάνω από ένα βαθμό ελευθερίας. Μετασχηματισμός Legendre για κατασκευή της Λαγκρανζιανής από τη Χαμιλτονιανή. Χαμιλτονιανή φορτισμένου σωματιδίου σε Η/Μ πεδίο. Χώρος φάσεων. Διατύπωση του θεωρήματος Liouville και γραφική απόδειξη σε 2D χώρο φάσεων. Ερμηνεία του "ρευστού" στο χώρο των φάσεων.

Θεώρημα Liouville με απόδειξη. Αγκύλες Poisson (ορισμός, ιδιότητες, χρήση). Η αγκύλη Poisson ως γεννήτορας μετασχηματισμών. Κανονικοί μετασχηματισμοί (ορισμός, νέες δυνατότητες επαναορισμού των συντεταγμένων στο χώρο των φάσεων).

Ελαχιστοποίηση δράσης μέσω διερεύνησης συγκεκριμένων μορφών διαδρομών. Στασιμοποίηση δράσης μέσω διακριτοποίησης διαδρομών. Ανάλυση της έννοιας της στασιμοποίησης. Σχέση φυσικής διαδρομής και παραλλαγμένης διαδρομής. Ασκήσεις: 7α,β, 8 (από βιβλίο ΙΑ)

Τρόπος εύρεσης στασίμου και συσχέτιση με τον 2ο νόμο του Νεύτωνα

Σχέση στασιμοποίησης δράσης και 2ου Νόμου Νεύτωνα. Απόδειξη μαθηματικού θεωρήματος περί ορογωνιότητας συναρτήσεων. Σχέση κβαντομηχανικής και δράσης.

Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Εξάρτηση από διάφορες μεταβλητές. Εξισώσεις Euler-Lagrange. Επίλυση φυσικού προβλήματος (ελεύθερο σωματίδιο) και γεωμετρικού προβλήματος (εύρεση καμπύλης με ελάχιστο μήκος). Πρόβλημα περί του τι είδους στάσιμο είναιη λύση του αρμονικού ταλαντωτή για χρόνο ίσο με 1 περίοδο.

Από τι μεταβλητές μπορεί να εξαρτάται η Λαγκρανζιανή; Σχέτη τάξης διαφορικής εξίσωσης και Λαγκρανζιανής. Ελευθερίες στον προσδιορισμό της Λαγκρανζιανής. Μετασχηματισμός (ανα)βαθμονόμησης. Πρβλ: Χρήση του λογιμού μεταβολών για τη στασιμοποίηση του συναρτησοειδούς που οδηγεί στη λύση του βραχυστόχρονου.

Κατσκευή Λαγκρανζιανής ελευθέρου σωματιδίου από πρώτες αρχές και συμμετρίες. Κατασκευή Λαγκρανζιανής αλληλεπιδρώντων σωματιδίων. Πρβλ. (2.1) Σύνδεση του προβλήματος στασιμοποίησης της δράσης ενός αρμονικού ταλαντωτή με την στασιμοποίηση του μήκους της καμπύλης πάνω σε μια σφαίρα. Ύπαρξη δύο ειδών στάσιμες λύσεις: μικρές και μεγάλες. Οι μεν μικρές είναι ελάχιστα, οι δε μεγάλες ούτε ελάχιστα ούτε μέγιστα (περισσότερες λεπτομέρειες για τα τελευταία λεπτά που χάθηκαν στο 3ο μέρος).

Το βίντεο διεκόπη στο 0:49. Στο κομμάτι που λείπει, ολίγων λεπτών, σχολιάζεται η συσχέτιση του στάσιμου που αφορά την μεγάλη διαδρομή (αυτήν με το μεγάλο τόξο) με το στάσιμο της δράσης του αρμονικού ταλαντωτή για χρόνο \(Τ\). Και στις δύο περιπτώσεις το στάσιμο δεν είναι ούτε ελάχιστο ούτε μέγιστο αφού βρίσκει κανείς παραλλαγές της στάσιμης λύσης που μεγαλώνουν, που μικραίνουν και που αφήνουν ίδια την τιμή του συναρτησοειδούς. Σχολιάζεται επίσης ότι σύμφωνα με σχετικό θεώρημα του Καραθεοδωρή για αρκούντως μικρά διαστήματα ολοκλήρωσης το στάσιμο δεν μπορεί να έχει τα παραπάνω χαρακτηριστικά και είναι ελάχιστο (ή μέγιστο) αναλόγως με το πρόσημο του συναρτησοειδούς. Επίσης κατόπιν επισήμανσης φοιτητή διορθώθηκε λάθος. Το μήκος της διαδρομής τύπου Ι δεν είναι \(\theta_B\) αλλά \(2 \pi - \theta_B\). Επομένως το κουτί στο άνω αριστερά μέρος του πίνακα θα έπρεπε ορθώς να γράφει \(s_{ΑΔ'Β}>s_{ΑΔΒ}=2\pi-\theta_B\) και το ίδιο για την τιμή του \(s_{ΑΔΒ}\) στο 2ο κουτί..

Κατασκευή της Λαγκρανζιανής φορτισμένου σωματιδίου σε Η/Μ πεδίο (συνεχίζεται...) Χρήση δεικτών για την εξαγωγή διανυσματικών ταυτοτήτων. Αθροιστική σύμβαση του Einstein.

Ολοκλήρωση της εξαγωγής της Λαγκρανζιανής φορτισμένου σωματιδίου. Δίσκος του Feymnan και στροφορμή του μαγνητικού πεδίου. Πρβλ.: 1) Αλλαγή Λαγκρανζιανής λόγω αλλαγής συστήματος αναφοράς. 2) Κατασκευή Λαγκρανζιανής για αναλωτικά δυνάμεις με εξάρτηση από την ταχύτητα.