Μάθημα : Μηχανική ΙΙ

Δες στο μάθημα ΕΘΣ για το σχετικό video.

Γενικά για το μάθημα και διατύπωση της αρχής του Χάμιλτον.

Περιγραφή της διατύπωσης της αρχής του Χάμιλτον και εφαρμογή αυτής στο ελέυθερο σωματίδιο σε μια διάσταση.

Διατύπωση και απόδειξη του θεωρήματος της Noether. Συμμετρίες - διατηρήσεις.

Διατήρηση γενικευμένης ορμής στο δίσκο του Feynman.

Γενική θεώρηση μετασχηματισμών, συμμετριών, θεωρήματος Noether. Ορολογία.

Ασκήσεις 4, 6 του κεφ 5 του βιβλίου θεωρητικής μηχανικής των ΙΑ

Άσκηση: Γαλιαλαιϊκή συμμετρία και διατηρούμενη ποσότητα.

Μετασχηματισμοί στροφής και γεννήτορες αυτών. Διατηρούμενα μεγέθη. Διατηρήσεις από συμμετρικές κατανομής βαρυτικής ύλης.

Κατασκευή Λαγκρανζιανής συστήματος με δεσμούς. Πολλαπλασιαστές Lagrange.

Ολοκλήρωση της ανάλυσης του κεκλιμένου επιπέδου με πολλ/στές Lagrange.

Υπολογισμός αντιδράσεων ανάλογα με την κίνηση του επιπέδου. Επιπλέον πλεονέκτημα των πολλ/στών Lagrange η εισαγωγή δεσμών μη επιλύσιμων αναλυτικά. Κίνηση εκκρεμούς με δεσμούς. Κίνηση χάντρας σε ορθή κυλινδρική έλικα και αντιδράσεις.

Περιγραφή σωματιδίου σε περιστρεφόμενο σύστημα αναφορά. Ψευδοδυνάμεις: Coriolis και φυγόκεντρος.

Λαγκρανζαινός φορμαλισμός σε στερεά σώματα με ή χωρίς χρήση εξισώσεων δεσμών.

Εισαγωγή σε συστήματα που αναλύονται σε κανονικούς τρόπους ταλάντωσης.

Πρόβληματα με δεσμούς και πολλ/στές Lagrange.

Ολοκλήρωση της άσκησης με την περιστρεφόμενη ράβδο και το μαγνητικό πεδίο. Γραμμικοποίηση της Λαγκρανζιανής του 2πλού εκκρεμούς.

Πίνακες κινητικής και δυναμικής ενέργειας. Εξισώσεις κίνησης 2πλού εκκρεμούς.

Αντιμετώπιση και γραμμικοποίηση γενικού συστήματος που έχει σημείο(α) ισορροπίας.

Ασκήσεις, γραμμικοποίησης και κατασκευής πινάκων κινητικής/δυναμικής ενέργειας.

Κατασκευή των εξισώσεων Euler-Lagrange για τη γραμμικοποιημένη Λαγκρανζιανή. Εύρεση των ιδιοσυχνοτήτων μέσω του χαρακτηριστικού πολυωνύμου.

Εύερεση των κανονικών τρόπων ταλάντωσης. Κατασκευή γενικής λύσης από τις αρχικές συνθήκες. Εφαρμογή στο 2πλό εκκρεμές.

Συζήτηση περί της στασιμότητας της δράσης και του μεγέθους και του τρόπου της αλλαγής της διαδρομής. Αναζήτηση τρόπων εύρεσης της φυσικής διαδρομής.

Ασκήσεις: (1) Εύρεση (και ελαχιστοποίηση) της δράσης σωματιδίου σε βαρυτικό πεδίο γθια διαδρομές διγραμμικές ως προς το χρόνο. (2) Αναλυτική εύρεση της διαδρομής που καθιστά το μήκος της φωτεινής διαδρομής ελάχιστο (ασνάκλαση) και το χρόνο της φωτεινής διαδρομής ελάχιστο (διάθλαση).

Γενική αντιμετώπιση συστήματος με σημεία ισορροπίας (γραφή γραμμικοποιημένης Λαγκρανζιανής, εξισώσεων EL, χαρακτηριστικό πολυώνυμο, εύρεση ιδιοσυχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης). Ανάλυση σε μονοδιάστατους αρμ. ταλαντωτές.

Ανάλυση του 2πλού εκκρεμούς γύρω από ασταθές σ. ισορροπίας. [Η συζήτηση στο τέλος κόπηκε και θα επαναληφθεί στην επόμενη διάλεξη μαζί με κάποια περαιτέρω ανάλυση.]

Υπόλοιπα περιγραφής κίνησης γύρω από ασταθή σημεία ισορροπίας (θετικός και μη θετικός πίνακας δυναμικής ενέργειας).

Μετασχηματισμός Legendre και κατασκευή Χαμιλτονιανής συνάρτησης.

Χώρος φάσεων. Τι σημαίνουν οι εξισώσεις Χάμιλτον όσον αφορά την εξέλιξη του συστήματος στο χώρο των φάσεων.

Χώρος φάσεων. Τι σημαίνουν οι εξισώσεις Χάμιλτον όσον αφορά την εξέλιξη του συστήματος στο χώρο των φάσεων.

Άσκηση: Ανάλυση κανονικών τρόπων ταλάντωσης στο σύστημα μάζα με 3 ελατήρια το σταθερό άκρο των οποίων βρίσκεται στις κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. Περίπτωση εκφυλισμού. Η ορθογωνιότητα των καν. τρ. ταλ. δεν έρχεται αυτόματα αλλά μπορεί να γίνει με κατάλληλη επιλογή των καν. τρ. ταλ.

Ροή στο χώρο των φάσεων. Θεώρημα Liouville.

Παραδείγματα συστημάτων 1 βαθμού ελευθερίας με Χαμιλτονιανό φορμαλισμό.

Χώρος φάσεων εκκρεμούς. Ρυθμός μεταβολής μεγεθών και αγκύλες Poisson. Ιδιότητες των αγκυλών.

Εφαρμογή Χαμιλτονιανού φορμαλισμού σε φορτισμένο σωματίδιο σε ΗΜ ομογενές μαγνητικό πεδίο.

Αγκύλες Poisson, ιδιότητες, ιδιότητα Jacobi, κατασκευή νέων ολοκληρωμάτων κίνησης από δοσμένα, εξισώσεις Hamilton μέσω αγκυλών Poisson.

Ανασκόπηση των βασικών ιδεών-εννοιών του μαθήματος.

Προσπάθειες στασιμοποίησης της δράσης. Μετατροπή του συναρτησοειδούς της δράσης σε μια προσεγγιστική συνάρτηση πολλών μεταβλητών.

2η προσπάθεια, με ανάπτυγμα Taylor της δράσης ως προς το μικρό μέθεθος της παραλλαγής. Ισοδυναμία αρχής Hamilton και 2ου νόμου του Νεύτωνα. Αποδειξη μαθηματική της πρότασης ότι μόνο η μηεδενική συνάρτηση μηδενίζει το ολοκλήρωμα του γινομένου με μια οποιαδήποτε συνάρτηση. Κβαντική και κλασσική μηχανική, πως συνδέονται (η κβαντική μηχανική μέσω ολοκληρωμάτων διαδρομών του Feynman).

Κατασκευή εξισώσεων Euler-Lagrange που εξασφαλίζουν τη στασιμοποίηση της δράσης. Η Λαγκρανζιανή ως συνάρτηση ανεξάρτητα της θέσης, της ταχύτητας και του χρόνου. Παραδείγματα εξισώσεων E-L για δοσμένα απλά μηχανικά προβλήματα.

Ασκήσεις: (1) Ανάλυση του σχήματος 1.7 του 1ου κεφαλαίου του βιβλίου Ι&Α. (2) Πρόβλημα 6 του 1ου κεφαλαίου του βιβλίου Ι&Α (θα συνεχιστεί...)

Ελευθερίες στον προσδιορισμό της L. Μετασχηματισμός (ανα)βαθμονόμησης. Σπάσιμο της L σε απλούστερες.

Ασκήσεις: Υπολογισμός ελαχίστων γεωμετρικού ή φυσικού χαρακτήρα με το λογισμό μεταβολών που αναπτύχθηκε (δλδ. μέσω της(των) εξίσωσης(εξισώσεων) E-L.

Περί της σχέσης της L με τις παραγώγους της θέσης και των εξισώσεων κίνησης. Εξισώσεις κίνησης σε καρτεσιανές vs πολικές συντεταγμένες.

Αναλλοιότητα των εξισώσεων Euler-Lagrange σε αλλαγές συντεταγμένων. Ελεύθερο σωματίδιο σε δύο διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων \(\to\) συμβατές εξισώσεις κίνησης.

Κατασκευή Λαγκρανζιανής ελεύθερου σωματιδίου από πρώτες αρχές.

Λαγκρανζιανή αλληλεπιδρώντων σωματιδίων. Λαγκρανζιανή συστημάτων με ανάλωση. Λαγκρανζιανή φορτισμένου σωματιδίου σε Η/Μ πεδίο (αρχή).

Υπολογισμός της καμπύλης βραχυστοχρόνου.

Εύρεση γεωδαισιακών σφαίρας. Συζήτηση περί ελαχίστου-μεγίστου των στασίμων. Αναλογία με τη δράση αρμονικού ταλαντωτή. Σπάσιμο της Λαγκρανζιανής σε ΚΜ και σχετική θέση.
Σημείωση/σχόλιο για το μάθημα: Προφανώς αν η \(\phi'\) είναι γνησίως θετική ή αρνητική, δεν θα μπορούσε να είναι \( \phi_A=\phi_B=0\). Κατ' ανάγκη λοιπόν οδηγούμαστε σε καθορισμό της σταθεράς \(c=0\).

Υπολογισμός της Λαγκρανζιανής φορτισμένου σωματιδίου σε Η/Μ πεδίο.

Ελευθερία καθορισμού της Λαγκρανζιανής που απορρέει από την ελευθερία προσδιορισμού του βαθμωτού και ανυσματικού δυναμικού. Επίλυση των εξισώσεων E-L για σωματίδιο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο. Γενικευμένη ορμή, δύναμη. Κυκλικές μεταβλητές. Άλλες διατηρήσεις.

Εφαρμογή του θεωρήματος Noether στην εύρεση διατηρούμενων ποσοτήτων. Διατήρηση συνολικής ορμής απομονωμένου συστήματος με δυναμικά αλληλεπίδρασης που σέβονται τηον 3ο νόμο του Νεύτωνα. Συζήτηση περί στροφών.