Μάθημα : Μηχανική ΙΙ

Εισαγωγικά - Βιβλιογραφία Διατύπωση της αρχής ελάχιστης δράσης (ΑΕΔ) και άλλες διατυπώσεις στασίμου. Σχέση της ΑΕΔ με τον 2ο νόμο του Νεύτωνα. Είναι πράγματι ελέχιστη η δράση ενός σωματιδίου που ανεβοκατεβαίνει στο βαρυτικό πεδίο;

Πώς βρίσκει κανείς την κίνηση (τη φυσική διαδρομή) που καθιστά τη δράση στάσιμη. Πώς σχετίζεται η αρχή της στάσιμης δράσης με την νευτώνεια ή την κβαντομηχανική συμπεριφορά ενός σωματιδίου.

Λογισμός Μεταβολών. Στασιμοποίηση συναρτησοειδούς. Εξαγωγή εξισώσεων Euler-Lagrange για \(L=L(\vec{x},\vec{v},t)\). Προσαρμογή της λύσης της Euler-Lagrange στις δοθείσες συνοριακές συνθήκες. Λύση γεωμετρικού προβλήαμτος με τ λογισμό μεταβολών. Τι αλλάζει αν η Λαγκρανζιανή εξαρτάται και από την επιτάχυσνη. Ασκήσεις [1. νόμος του Snell, 2. Υπολογισμός της δράσης για σωματίδιο που ανεβοκατεβαίνει εντός του βαρυτικού πεδίου με συγκεκριμένο ενδιάμεσο χωροχρονικό σημείο.]

Ελευθερίες σχηματισμού της Λαγκρανζιανής. Μετασχηματισμός αναβαθμονόμησης (ης δράσης). Κατασκευή της Λαγκρανζιανής ελευθέρου σωματιδίου, 2 ελεύθερων σωματιδίων, 2 αλληλεπιδρώντων σωματιδίων βασισμένοι σε συμμετρίες του κόσμου και πειραματικά δοσμένα.

Αναλλοιότητα των εξισώσεων Euler-Lagrange. Προβλήματα με επιλογή μεταβλητών στην Λαγκρανζιανή. Τρυκ του Landau. [1. Πρόβλημα Kepler και σημασία διατηρήσεων. 2. Αλλαγή σε επιταχυνόμενο σύστημα αναφοράς. 3. Πρόβλημα βραχυστοχρόνου.]