Μάθημα : Μηχανική ΙΙ

Η συγκεκριμένη διάλεξη δεν καταγράφηκε λόγω δυσλειτουργίας του uniflix εκείνη την ώρα. Μπορείτε να βρείτε στις σημειώσεις της συμφοιτήτριάς σας την διάλεξη αυτή υπό τη μορφή σημειώσεων μετά τη σελίδα 8 του σχετικού pdf.

Εισαγωγικά - Βιβλιογραφία Διατύπωση της αρχής ελάχιστης δράσης (ΑΕΔ) και άλλες διατυπώσεις στασίμου. Σχέση της ΑΕΔ με τον 2ο νόμο του Νεύτωνα. Είναι πράγματι ελέχιστη η δράση ενός σωματιδίου που ανεβοκατεβαίνει στο βαρυτικό πεδίο;

Πώς βρίσκει κανείς την κίνηση (τη φυσική διαδρομή) που καθιστά τη δράση στάσιμη. Πώς σχετίζεται η αρχή της στάσιμης δράσης με την νευτώνεια ή την κβαντομηχανική συμπεριφορά ενός σωματιδίου.

Λογισμός Μεταβολών. Στασιμοποίηση συναρτησοειδούς. Εξαγωγή εξισώσεων Euler-Lagrange για \(L=L(\vec{x},\vec{v},t)\). Προσαρμογή της λύσης της Euler-Lagrange στις δοθείσες συνοριακές συνθήκες. Λύση γεωμετρικού προβλήαμτος με τ λογισμό μεταβολών. Τι αλλάζει αν η Λαγκρανζιανή εξαρτάται και από την επιτάχυσνη. Ασκήσεις [1. νόμος του Snell, 2. Υπολογισμός της δράσης για σωματίδιο που ανεβοκατεβαίνει εντός του βαρυτικού πεδίου με συγκεκριμένο ενδιάμεσο χωροχρονικό σημείο.]

[Για κάποιο λόγο, με το πέρασμα στη νέα πλατφόρμα uniflix στη θέση του delos, φαίνεται να λείπει η αρχή του 1ου μέρους.] Ελευθερίες σχηματισμού της Λαγκρανζιανής. Μετασχηματισμός αναβαθμονόμησης (ης δράσης). Κατασκευή της Λαγκρανζιανής ελευθέρου σωματιδίου, 2 ελεύθερων σωματιδίων, 2 αλληλεπιδρώντων σωματιδίων βασισμένοι σε συμμετρίες του κόσμου και πειραματικά δοσμένα.

Αναλλοιότητα των εξισώσεων Euler-Lagrange. Προβλήματα με επιλογή μεταβλητών στην Λαγκρανζιανή. Τρυκ του Landau. [1. Πρόβλημα Kepler και σημασία διατηρήσεων. 2. Αλλαγή σε επιταχυνόμενο σύστημα αναφοράς. 3. Πρόβλημα βραχυστοχρόνου.]

Προσαρμογή τύπου λύσης των εξισώσεων Euler-Lagrange στα δεδομένα της αρχής στάσιμ,ης δράσης (εφαρμογή στο βραχυστόχρονο). Διερεύνηση του είδους του στασίμου συναρτησοειδούς στην αναζήτηση ελάχιστης διαδρομής σε σφαίρα. Κατασκευή της Λαγκρανζιανής φορτισμένου σωματιδίου σε Η/Μ πεδίο.

(συνέχεια) Λαγκρανζιανής φορτισμένου σωματιδίου σε εξωτερικό Η/Μ πεδίο. Γενικευμένη δύναμη και γενικευμένη ορμή. Περί μοναδικότητας της Λαγκρανζιανής. Δίσκος του Feynman. Φαινόμενο Bohm-Aharonov. Λαγκρανζιανή περιγραφή σωματιδίου σε περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς.

Ανάλυση του φυγοκεντρικού όρου και φυγοκεντρικό δυναμικό. Εφαρμογή: Σχήμα περιστρεφόμενου πλανήτη. Θεώρημα Noether και συμμετρίες-διατηρήσεις. Γεννήτορας μετασχηματισμού. Παραδείγματα (διατήρηση της ορμής συστήματος αλληλεπδρώντων σωματιδίων). Συσχέτιση μεταβολής δράσης με μεταβολές της φυσικής τροχιάς.

Παράδειγμα συμμετρίας - διατήρησης (στροφές-στροφορμή). Γενικευμένο θεώρημα της Noether και διατήρηση ενέργειας. Ημι-συμμετρίες και γαλιλαϊκή συμμετρία. Σχετικιστικό σωματίδιο.

(συνέχεια) κατασκευή της Λαγκρανζιανής σχετικιστικού σωματιδίου. Γενικευμένη ορμή = 3-ορμή της τετραορμής. Δεσμοί (είδη δεσμών). Αντιμετώπιση προβλημάτων με δεσμούς στον Λαγκρανζιανό φορμαλισμό. Πολλαπλασιαστές Lagrange και δεσμοί.

Ποιοι δεσμοί είναι ολόνομοι και ποιοι όχι. Χρήση πολλαπλασιαστών Lagrange στην περίπτωση ολόνομων δεσμών. Υπολογισμός δύναμης αντίδρασης δεσμού. Εισαγωγή στις γωνίες Euler.

Κίνηση στερεού σώματος. Ροπές αδράνειας στερεού. Λαγκρανζανή στερεού σώματος (ελεύθερου και σβούρας). Διατηρούμενα μεγέθη και κατασκευή της ενεργού Λαγκρανζιανής.

Γενική περγραφή στερεού σώματος (ελευθέρου και σβούρας). Ενεργός Λαγκρανζιανή και εξισώσεις κίνησης. Λύση μετάπτωσης για ελεύθερο σώμα με τον άξονα 3 να περιστρέφεται με σταθερή γωναική ταχύτητα γύρω από τον άξονα της διατηρούμενης στροφορμής. Η έννοια του στιγμιαίου άξονα περιστροφής του στερεού (άξονας του \(\vec{\omega}\) ). Σβούρα: αντίστοιχη εξίσωση κίνησης υπό τη μορφή ενός μονοδιάστατου προβλήματος που αφορά την κλίση της σβούρας. Δυνατές κινήσεις της σβούρας με κλυδωνισμό και μετάπτωση. Περίπτωση σβούρας που αρχικά απλώς περιστρέφεται περί τον άξονα συμμετρίας της. Ανάλυση ενός προβλήματος (πλανήτη σε τροχιά γύρω από Ήλιο) και διαχείριση των διατηρούμενων ποσοτήτων. Η σχέση ταχύτητας - διατηρούμενης γενικευμένης ορμής δεν μπορεί να εισαχθεί απευθείας στη Λαγκρανζιανή με τον ίδιο τρόπο που εισάγεται ένας ολόνομος δεσμός. Η αντίστοιχη ενεργή Λαγκρανζιανή οδηγεί σε λανθασμένες εξισώσεις κίνησης. Κατασκευή μιας ορθής ενεργού Λαγκρανζιανής με την εκμετάλλευση του ολοκληρώματος Jacobi (πέραν της διατηρούμενης γενικευμένης ορμής. [Η κατασκευή στο μάθημα ενέχει λάθος: θα εξηγηθεί στην επόμενη διάλεξη.] Εισαγωγή σε πρόβλημα κίνησης σύνθετου μηχανικού συστήματος με κατάσταση ισορροπίας, όταν κανείς δεν απομακρύνεται σημαντικά από την κατάσταση ισορροπίας.

Επίλυση 1ης Εργασίας. Μελέτη συστήματος με κατάσταση ισορροπίας. 2-πλό εκκρεμές. Γραμμικοποίηση Λαγκρανζιανής. Πίνακες κινητικής/δυναμικής ενέργειας.

Συστηματική μελέτη 2πλου εκκρεμούς γύρω από την ευσταθή κατάσταση ισορροπίας του.

Γενική αντιμετώπιση προβλημάτων με κατάσταση ισορροπίας, καθώς εξελίσσονται γύρω από αυτή. Αντιμετώπιση κανονικών τρόπων ταλάντωσης που αντιστοιχούν σε αστάθεια.

Περίπτωση εκφυλισμού τρόπων ταλάντωσης. Διέγερση συστήματος μικρών ταλαντώσεων από εξωτερική χρονοεξαρτώμενη δύναμη. Πέρασμα από τον Λαγκρανζιανό στο Χαμιλτονιανό φορμαλισμό.

Πλεονεκτήματα του Χαμιλτονιανού φορμαλισμού. Παραδείγματα κατασκευής Χαμιλτονιανής. Κίνηση στο χώρο των φάσεων και χαρακτηριστικά αυτής.