Μάθημα : Μηχανική ΙΙ

Αρχή (Ελάχιστης) Στάσιμης Δράσης. Διατύπωση. Αντιπαράθεση της νέας αρχής με τον δυναμικό νόμο του Νεύτωνα. Άλlες αρχές ελαχιστού στη Φυσική. (Παράδειγμα διαδρομής εντός και εκτός θάλασσας και νόμος του Snell). Προσπάθειες εύρεσης στασίμου (ελεύθερο σωματίδιο και σωματίδιο σε πεδίο δυναμικού). Ορθογωνιότητα συναρτήσεων.

Συναρτήσεις ως διανύσματα. Εσωτερικό γινόμενο μεταξή συναρτήσεων. Ορθογωνιοποίηση συναρτήσεων. Βάση του διανυσματικού χώρου των συναρτήσεων. Σχέση μεταξύ στασιμοποίησης συνάρτησης και στασιμοποίησης συναρτησοειδούς. Μετατροπή συναρτησοειδούς σε συνάρτηση πολλών μεταβλητών.

Στασιμοποίηση της δράσης ως συνάρτηση πολλών μεταβλητών (ενδιάμεσων θέσεων) αντί ως συναρτησοειδούς της κίνησης. Αρχή στ΄σιμης δράσης ως γέφυρα κλασικού - κβαντομηχανικού κόσμου. "Ολοκληρώματα" διαδρομών και πιθανότητα υλοποίησης κάποιων διαδρομών. Απόκλιση πραγματικών (κβαντομηχανικών) σωματιδίων από την κλασική νευτώνεια κίνηση.

Γενικό πρόβλημα στασιμοποίησης ή ακροτατοποίησης ενός συναρτησοειδούς που σχηματίζεται από την ολοκλήρωση ως προς τη μεταβλητή \(t\) μιας συνάρτησης \(L({\bf q},\dot{\bf q},t)\). Εφαρμογή στην εύρεση της καμπύλης που πετυχαίνει να μετακινήσει μέσα στο ομογενές βαρυτικό πεδίο ένα σώμα που γλιστράει άνευ τριβών μεταξύ δύο δοσμένων σημείων (ενός ψηλότερου αρχικά και ενός χαμηλότερου τελικά)στο μικρότερο δυνατό χρόνο [βραχυστόχρονο]. Εξισώσεις Euler-Lagrange. Τι σημαίνουν και τι πετυχαίνουν; Τι ελευθερία υπάρχει στην κατασκευή της Λαγκρανζιανής;

Δυστυχώς το Δήλος κατέγραψε μετά το 39 λεπτό της πρώτης ώρας. Θα αναζητήσω σημειώσεις από κάποιον συμφοιτητή σας και θα τις ανεβάσω. 1. Ασκήση. Εύρεση της καμπύλης που συνδέει δύο σημεία μιας σφάιρας και έχει την ελάχιστη απόσταση. Συζήτηση για σχέση ελαχίστου-ακροτάτου-στασίμου συναρτησοειδούς. Πολλαπλές λύσεις στασίμου. Από αυτές μια έχει την ιδιότητα να είναι ακρότατο. Η 2η λύση αν και στάσιμη δεν είναι ούτε ελάχιστο ούτε μέγιστο. 2. Απόδειξη του ότι η αλλαγή μεταβλητών που χρησιμοποιούμε για την περιγραφή ενός φυσικού συστήματος δεν αλλοιώνει τις εξισώσεις Euler-Lagrange που ικανοποιούν το στάσιμο της δράσης. Παράδειγμα με επιταχυνόμενο σύστημα και εξισώσεις κίνησης για το ελεύθερο σωματίδιο στο σύστημα αυτό. 3. Λαγκρανζιανή ελεύθέρου σωματιδίου από πρώτες αρχές και συμμετρίες του Σύμπαντος.

Κατασκευή Λαγκρανζιανής δύο και πολλών αλληλεπιδρώντων σωματιδίων. Δυναμική ενέργεια αλληλεπιδρώντων σωματιδίων με δύναμη που εξαρτάται μόνο από τη σχετική τους απόσταση, είναι φυσική και υπακούει στον 3ο νόμο του Νεύτωνα. Πέρα από τη βασική συνταγή Λαγκρανζιανής(=κινητική - δυναμική ενέργεια). Λαγκρανζιανή και θεμελιώδεις δυνάμεις. Κατασκευή Λαγκρανζιανής φορτισμένου σωματιδίου σε αυθαίρετο Η/Μ πεδίο.

Συμβολιστικές λεπτομέρειες της κατασκευής Λαγκρανζιανής φορτισμένου σωματιδίου σε Η/Μ πεδίο. Λαγκρανζιανή πολλών αλληλεπιδρώντων ηλεκτρομαγνητικά σωματιδίων. Ο δίσκος του Feynman και η διατήρηση της ορμής/στροφορμής. Συμμετοχή του Η/Μ πεδίου στη γενικευμένη ορμή. Ανυσματικό δυναμικό σχετιζόμενο με αξονικά συμμετρικό Η/Μ πεδίο. Εναλλακτικές εκφράσεις για το ανυσματικό και το βαθμβωτό δυναμικό οδηγούν σε μετασχηματισμό αναβαθμονόμησης τη Λαγκρανζιανή. Παραλλαγμένες Λαγκρανζιανές που οδηγούν σε προδιαγεγραμμένες (μη θεμελιώδεις) εξισώσεις κίνησης. Δεσμοί και Λαγκρανζιανή. Παάδειγμα: κίνηση χάνδρας σε ελικοειδές σύρμα υπό την επίδραση της βαρύτητας.

Επίλυση ασκήσεων 1ης εργασίας. Το τρυκ του Landau για τον υπολογισμό της κινητικής ενέργειας και κατά συνέπεια Λαγκρανζιανών. Λαγκρανζιανές που εξαρτώνται και από ανώτερης τάξης παραγώγους και επαναδιατύπωση της αρχής στάσιμης δράσης. Αντίστοιχες εξισώσεις Euler-Lagrange. Περιστρεφόμενα συστήματα αναφοράς. Παράδειγμα με σωματίδιο με ελατήριο σε περιστρεφόμενο σύσττημα που ανάγεται σε φορτισμένο σωματίδιο σε μαγνητικό πεδίο.

Πρόβλημα μηχανικής αναλυμένο Λαγκρανζιανά (εφαρμογή σφαιρικών συντεταγμένων, διατηρούμενα μεγέθη, εισαγωγή αρχικών συνθηκών, όρια κίνησης, ειδικές κινήσεις -κυκλική). Είδη δεσμών. Πολλαπλασιαστές Lagrange. Γεωμετρική ερμηνεία αυτών. Χρήση πολ/στών Lagrange για την εισαγωγή δεσμού/ών. Εύρεση δύναμης αντίδρασης δεσμού μέσω πολ/στών Lagrange. Πλεονεκτήματα της μεθόδου. Εφαρμογή σε κίνηση επί έλικας και σε κινούμενο κεκλιμμένο επίπεδο.

Θεώρημα E. Noether. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων που αποτελούν συμμετρία της Λαγκρανζιανής ή της δράσης. Συνέπειες του μετασχηματισμού, αναφορικά με τις αντίστοιχες διατηρήσεις. Παραδείγματα: Ελεύθερο σωματίδιο, Πολλά αλληλεπιδρώντα σωματίδια και διατήρηση συνολικής ορμής, στροφορμής, ενέργειας. Περίεργη Λαγκρανζιανή με συμμετρία διαστολής χρόνου/χώρου. Χρησιμότητα των διατηρούμενων ποσοτήτων, όσον αφορά στην απλοποίηση των προβλημάτων. Σχετικιστικό σωματίδιο και συμμετρία σε μετασχηματισμούς Lorentz.

(Κατά λάθος γράφεται στον πίνακα 12η Διάλεξη.) Παραδείγματα συμμετριών διατηρήσεων. Τροχαλίες. Πώς αλλάζει η δράση σε ελεύθερο Νευτώνειο/σχετικιστικο σωματίδιο σε γαλιλαιϊκούς/Lorentz μετασχηματισμούς. Κυκλικές (μπαλαντέρ) μεταβλητές και διατήρηση αντίστοιχης γενικευμένης ορμής ως συνέπεια του θεωρήματος της Noether. Κατασκευή πεπερασμένης στροφής.

Μικρές ταλαντώσεις: Ειαγωγή. Διατύπωση πρότασης για συστήματα που εκτελούν μικρές ταλαντώσεις. Εύρεση κατάστασης ισορροπίας. Επαναγραφή της Λαγκρανζιανής και (δι)γραμμικοποίηση αυτής. Πίνακες κινητικής και δυναμικής ενέργειας. Εξισώσεις (γραμμικές) κίνησης. Γενική λύση ως κίνηση όλων των συντεταγμένων εν χορώ. Εύρεση ιδιοσυχνοτήτων.

Εύρεση ιδιοσυχνοτήτων συστήματος με ισορροπία. Φυσικό νόημα αυτών. Εύρεση ιδιοκαταστάσεων συστήματος (τρόπων ταλάντωσης). Φυσικό νόημα αυτών. Γενική λύση κίνησης συστήματος με ισορροπία, ενόσω βρίσκεται κοντά σε αυτή. Διαγωνιοποίηση πινάκων κινητικής και δυναμικής ενέργειας. Ανακατασκευή της Λαγκρανζιανής.

Επανάληψη του αλγορίθμου ανάλυσης ενός συστήματος κοντά σε κατάσταση ισορροπίας. Εκφυλισμός ιδιοσυχνοτήτων. Μετατροπή της Λαγκρανζιανής σε άθροισμα Λαγκρανζιανών μονοδιάστατων αρμονικών ταλαντωτών. Φυσικό νόημα τρόπων ταλάντωσης. Γενική λύση με ενσωμάτωση των αρχικών συνθηκών. Γραφή της Λαγκρανζιανής διπλού εκκρεμούς.

Ανάλυση της κίνησης του 2πλού εκκρεμούς πλησίον της ευσταθούς και μιας ασταθούς κατάστασης ισορροπίας.

Ασκήσεις-Απαντήσεις (Εργασία 2). Μελέτη ενός συστήματος κοντά σε κατάσταση ισορροπίας, όταν αυτό βρίσκεται σε διέγερση. Σημασία της ανάλυσης σε τρόπους ταλάντωσης. Συντονισμός-απορρόφηση-εκπομπή. Προβληματικά σημεία στην πρακτική εφαρμογή (αριθμητική επίλυση) του Λαγκρανζιανού φορμαλισμού.

Μετασχηματισμός Legendre \(g\) της \(f\) για την εύρεση της συνάρτησης που ικανοποιεί \(dg/dy=x\) με δεδομένο ότι \(df/dx=y\). Κατασκευή της Χαμιλτονιανής. Χώρος φάσεων. Εξισώσεις Hamilton. Παραδείγματα Χαμιλτονιανών.

Πλεονεκτήματα Χαμιλτονιανού φορμαλισμού. Παράδειγμα Χαμιλτονιανής αναλωτικού συστήματος. Χαμιλτονιανή ηλεκτρικού φορτίου σε μαγνητικό πεδίο. Ιδιότητες χώρου φάσεων. Θεώρημα Liouville - αντιστοίχιση με ασυμπίεστο ρευστό.

Διατηρήσεις σε Χαμιλτονιανό φορμαλισμό. Παράδειγμα: θέση κέντρου κυκλικής τροχιάς φορτισμένου σωματιδίου σε μαγνητικό πεδίο. Αρχή στάσιμης δράσης Χαμιλτονιανά. Αγκύλες Poisson. Ιδιότητες και γεννήτορες μετασχηματισμών. Κανονικοί μετασχηματισμοί.

Σχέση Χαμιλτονιανής, Ενέργειας και διατήρησης της \(H\), με παράδειγμα όπου η \(H\) μπορεί να γραφεί έτσι ώστε να είναι σταθερή, αλλά να μην εκφράζει την ενέργεια, ή να μην είναι σταθερή, αλλά να εκφράζει την ενέργεια. Κανονικοί μετασχηματισμοί μέσω χρονικής εξέλιξης κάποιου συστήματος. Χρήση αυτών σε άλλο σύστημα. Χρονοεξαρτώμενη γεννήτρια συνάρτηση που τελικά μηδενίζει τη Χαμιλτονιανή. Εξίσωση Hamilton-Jacobi και η σχέση της αντίστοιχης γεννήτριας συνάρτησης με τη δράση (παράδειγμα ελεύθερο σωματίδιο). [Στο Γ μέρος έχει γίνει κάποιος λάθος αριθμητικός υπολογισμός που αναλύεται στην περιγραφή του Γ μέρους.]

Όλο το λάθος ξεκίνησε μετά το σβήσιμο των σχέσεων στο 0:41:40 του Β Μέρους. Οι σχέσεις που συνδέουν τα \(Q,P\) με τα \(q,p\) είναι γραμμένη λάθος στο 0:44:30 (αρχικά γράφτηκε σωστά, αλλά μετά διορθώθηκε λανθασμένα). Ως συνέπεια στο Β Μέρος στο 0:47:10 έχει υπολογιστεί η παράμετρος \(d\) του όρου \(q Q\) λανθασμένα. θα ήθελε ένα πλην πρόσημο. Η σωστή τιμή είναι \(d=-1/\sin t \). Έτσι η τελική μορφή της \(F\) που αναγράφεται στο κάτω αριστερό κομμάτι του πάνω πίνακα στην αρχή του Γ Μέρους θα έπρεπε να είναι \( F=\frac{\cos t}{2\sin t}(q^2+Q^2) - \frac{1}{\sin t} q Q \) Αντικαθιστώντας στην \(\partial F/\partial t\) τις εκφράσεις για τις χρονικές παραγώγους των χρονοεξαρτώμενων συντελεστών και τη σχέση \(q(Q,P)\) όπως κάναμε στο 18:40 τελικά καταλήγουμε ότι \(\partial F/\partial t=-(Q^2+P^2)/2\) με το σωστό, δηλαδή, πρόσημο για να μηδενιστεί η νέα Χαμιλτονιανή.