Μάθημα : Μηχανική Ι

Από το Γαλιλαίο στον Κέπλερ και στο Νεύτωνα. Διατύπωση και πρώτος σχολιασμός των 3 νόμων του Νεύτωνα. Αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Οι 3 νόμοι του Κέπλερ και κατασκευή αριθμητικού πειράματος προκειμένου να ελεγχθεί κατά πόσον η βαρυτική δύναμη (αντιστρόφου τετραγώνου) που εισήγαγε ο Νεύτωνας οδηγεί στους νόμους του Κέπλερ.

Περαιτέρω συζήτηση για την αριθμητική ολοκλήρωση των τροχιών κατά Euler και τα σφάλματα αυτής. Ολοκλήρωση κατά Feynman και συζήτηση του γιατί βελτιώνεται η ακρίβεια. Ο2ος νόμος του Νεύτωνα σε 1D, η έννοια της δύναμης, της μάζας και η απαίτηση για 2 αρχικές συνθήκες. Κίνηση υπό την επίδραση χρονοεξαρτώμενης δύναμης υπό μορφή παλμών δοσμένης ώθησης.

Συζήτηση για τη συνάρτηση δέλτα και τη συσχέτιση με τους παλμούς δύναμης του προηγούμενου μαθήματος. Κίνηση εξαιτίας δυνάμεων της μορφής \(F(v)\). Κίνηση υπό τη δράση μιας δύναμης \(F(x) \). Ορισμός της δναμικής ενέργειας και ελευθερία προσδιορισμού αυτής. Διατήρηση ενέργειας και υποβιβασμός της τάξης της διαφορικής εξίσωσης. Πρόβλημα με αντίσταση αέρα \(\sim v^2 \) και γραμμική δύναμη ελατηρίου. Συζήτηση περί ομογενών, μη ομογενών και γραμμικών εξίσωσεων και κατασκευή λύσης.

Χώρος φάσεων. Καμπύλες και μορφή τους στο χώρο των φάσεων.

Διαγράμματα φάσης - γενική περιγραφή της κίνησης, κίνηση κοντά σε κάθε είδους σημείο μηδενισμού της ταχύτητας. Θεώρημα Liouville. Ταλαντωτής. Υπολογισμός περιόδου. Αρμονικός ταλαντωτής: υπολογισμός περιόδου - θέσης ως συνάρτηηση του \(t\). Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις και λύσεις αυτών. 

Γενικά περί κινήσεων στο χώρο των φάσεων. Σχέση περιόδου με ενέργεια για δυναμική ενέργεια\(V(x)=a (x^2)^N \), σχέση περιόδου με εμβαδόν στο χώρο των φάσεων. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις (υπέρθεση λύσεων, γενική λύση).

Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις και γενική λύση αυτών. Η λύση είναι γραμμικός συνδυασμός των αρχικών συνθηκών.  Λύση των \(\ddot{x}=-a \dot{x}\) (κίνηση σε μέσο μετριβή με γραμμική εξάρτηση από την ταχύτητα), \( \ddot{x}=-a x \) (ταλαντωτής για \(a>0\) και ``απωθητής'' για \(a<0\) ). Γενική περιγραφή της ταλάντωσης του αρμονικού ταλαντωτή με μιγαδικούς, με ημίτονα και συνημίτονα, με άμεση παρουσίαση του πλάτους και της αρχικής φάσης. Ταλαντωτής με απόσβεση.

Αρμονικός ταλαντωτής με απόσβεση, χαρακτηριστικός χρόνος, υπεραπόσβεση και φθίνουσες ταλαντώσεις. Κρίσιμη απόσβεση. Σύγκριση χαρακτηριστικών χρόνων  για διάφορες τιμές του \(\gamma\).

Αρμονικός ταλαντωτής με απόσβεση και διέγερση. Συντονισμός. Πλάτος και φάση υστέρησης ως συνάρτηση της συχνότητας της διεγείρουσας δύναμης. Εφαρμογές. Ανάλυση τυχαίας περιοδικής διεγείρουσας δύναμης.

Ροή ενέργειας κατά τη διέγερση ενός αρμονικού ταλαντωτή. Τελική εξισορρόπηση των μέσων ενεργειών 

που προσφέρονται από τη διεγείρουσα δύναμη και απορροφώνται από την τριβή. Κυμαινόμενη ενέργεια του ίδιου του ταλαντωτή. Συνολική ενέργεια που απορροφάται από έναν ταλαντωτή όταν πλήθος διεγειρουσών δυνάμεων με κάθε δυνατή συχνότητα δρον σε αυτόν. Παράγοντας ποιότητας (quality factor) ενός ταλαντωτή. Συντονισμός αρμονικού ταλαντωτή χωρίς απόσβεση.

Κίνηση 2 σωμάτων. Ανάλυση σε κίνηση κέντρου μάζας και σχετική κίνηση. Δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης δύο σωμάτων που σέβεται τον 3ο νόμο του Νεύτωνα και την ισοτροπία του χώρου.

Σύστημα κέντρου μάζας. Ενέργεια και ορμή στο σύστημα κέντρου μάζας. Αλλαγή ταχυτήτων σε κρούση 2 σωμάτων. Δυνάμεις ως διάνυσμα. Αντιμετώπιση του 2ου νόμου του Νεύτωνα όταν \(\vec{F}=\vec{F}(t) \) και όταν \( \vec{F}=\vec{F}(\vec{v}) \). Εφαρμογή σε βολή με αντίσταση του αέρα τετραγωνική ως προς την ταχύτητα. Διαταρακτική μέθοδος επίλυσης.

Η γεωμετρική σημασία των διανυσμάτων ως οντότητες που ``στρίβουν'' καταλλήλως (μέσω των ορθογωνίων πινάκων στροφής). Η έννοια της δυναμικής ενέργειας ως συνάρτηση και η απαιτήσεις που πρέπει να ικανοποιούνται ώστε να ορίζεται η δυναμική ως συνάρτηση. Θεώρημα Stokes και φυσικό νόημα του στροβιλισμού. Συντηρητικές δυνάμεις και αστρόβιλα πεδία.

Φυσικό νόημα της βαθμίδας. Σύνδεσης βαθμίδας δυναμικού και συντηρητικών πεδίων. Συντηρητικότητα κεντρικών ισοτροπικών δυνάμεων. Κίνηση ισοτροπικού αρμονικού ταλαντωτή στις 3 διαστάσεις.

Ανάλυση της κίνησης του ισότροπου αρμονικού ταλαντωτή σε ``βολικό'' σύστημα συντεταγμένων με χρήση της διατήρησης της στροφορμής (επιπεδότητα της κίνησης) και την μεταγραφή των γρραμμικών συνδυασμών \( sin \) και \(cos \) ως αμιγώς \( sin \) ή \( cos \). Εύρεση της ελλειπτικής τροχιάς του ισότροπου αρμονικού ταλαντωτή με την επιλογή των βολικών συντεταγμένων. Ταχύτητα και επιτάχυνση σε πολικές συντεταγμένες. Αναγραφή της διαφορικής εξίσωσης που αφορά στο \( r(t) \) μέσω της διατήρησης της στροφορμής (ως μέτρο).

Ολίσθηση μάζας σε ορθή κυλινδρική έλικα. Κίνηση εκκρεμούς. Διατύπωση των εξισώσεων Euler-Lagrange για την επίλυση ενός μηχανικού προβλήματος. Πλεονεκτήματα της νέας μεθόδου. Μη αδρανειακές δυνάμεις. Σχέση ρυθμών μεταβολής διανυσμάτων σε περιστρεφόμενα συστήματα. Δύναμη Coriolis και φυγόκεντρος δύναμη.

Περιστρεφόμενα συστήματα αναφοράς και μη αδρανειακές δυνάμεις λόγω περιστροφής. Βολή σε περιστρεφόμενο σύστημα. Διαταρακτική μέθοδος. Ολίσθηση χάντρας σε έλικα με Λαγκρανζιανό φορμαλισμό.

Χρήση πολλαπλασιαστών Lagrange για την επίλυση προβλημάτων με δεσμούς και υπολογισμός των αντιδράσεων από τους δεσμούς. Πλεονεκτήματα της χρήσης των πολλαπλασιαστών Lagrange. Περιστρεφόμενα συστήματα σε Λαγκρανζαινό φορμαλισμό. Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε ομογενές μαγνητικό πεδίο με τη χρήση μιγαδικών αριθμών.

Διανυσματική ανάλυση της κίνησης φορτισμένου σωματιδίου σε ομογενές μαγνητικό πεδίο. Πρόσθεση και ηλεκτρικού πεδίου και ολίσθηση της κίνησης του σωματιδίου. Εισαγωγή στο ενεργό δυναμικό για κεντρικές δυνάμεις (διατήρηση στροφορμής και μελέτη του μονοδιάστατου προβλήματος της ακτινικής κίνησης).

Μελέτη ενεργού δυναμικού, τροχιές σχεδόν κυκλικές, τροχιές που κλείνουν. Μελέτη της κίνησης σε ελκτικό δυναμικό της μορφής \(V(r)=-k/r\). Κίνηση δύο υλικών σημείων που αλληλεπιδρούν βαρυτικά.  

Ελλειπτικές τροχιές πλανητών. Νόμοι Κέπλερ. Γεωμετρικά χαρακτηριστικά της έλλειψης και σύνδεση με φυσικές παραμέτρους. Εισαγωγή στη βαρύτητα. Βαρυτικό πεδίο (και βαρυτικό δυναμικό) από σφαιρικό ομογενή φλοιό.

Βαρύτητα από μη ομογενή σφαιρικό φλοιό. Βαρύτητα από ομογενή και μη ομογενή γεμάτη σφαίρα (δυναμικό και ένταση του πεδίου βαρύτητας). Καταρρευση ομογενούς σφαίρας. Χρόνος κατάρρευσης.

Νόμος του Gauss και παρκτική χρήση αυτού. Υπολογισμός του βαρυτικού πεδίου από άπειρης έκτασης πλάκα πεπερασμένου πάχους από ομογενές υλικό. Υπολογισμός (ολοκληρωτικά) του βαρυτικού δυναμικού και της έντασης του πεδίου βαρύτητας πάνω από άπειρη λεπτή πλάκα η οποία φέρει τρύπα κυκλικού σχήματος (το πεδίο υπολογίζεται πάνω στον άξονα της τρύπας). Προβήματα απειρισμού του δυναμικού. Παλλιρροϊκό πεδίο από δύο σημειακές μάζες και παλλιρροικές δυνάμεις σε εκτεταμένο σώμα. Βαρυτική έλξη μεταξύ δύο σφαιρών πεπερασμένων διαστάσεων. Εισαγωγή στο στερεό και υπολογισμός του τανυστή ροπής αδράνειας ενός στερεού.

Δυναμική στερεού σώματος. Ελεύθερο στερεό και εξισώσεις Euler. Κατασκευή Poinsot. Κίνηση ελεύθερου στερεού. Γωνίες Euler και ανάλυση της δυναμικής μιας αξονικά συμμετρικής σβούρας.