Περιεχόμενο Μαθήματος
A) Προαπαιτούμενα:
1) Πιθανότητες Ι
2) Πραγματική ανάλυση: Μετρικοί χώροι, συνεχείς συναρτήσεις σε μετρικούς χώρους, πλήρεις μετρικοί χώροι.
Συγκεκριμένα, από τις σημειώσεις Πραγματικής Ανάλυσης (του κ. Πέτρου Βαλέττα) από την η-τάξη εκείνου του μαθήματος, τα κεφάλαια 1,2, και οι παράγραφοι 3.1, 3.2, 4.1-4.3 και 5.1.
3) Μετροθεωρητικές πιθανότητες: Σ-άλγεβρες, μέτρα, μετρήσιμες συναρτήσεις, ολοκλήρωμα Lebesgue, τρόποι σύγκλισης τυχαίων μεταβλητών, ανεξαρτησία.
Συγκεκριμένα, από τις σημειώσεις Πιθανοτήτων ΙΙ (έκδοση 2017) από την η-τάξη του μαθήματος αυτού (στα έγγραφα, στον φάκελο "Βοηθητικό υλικό"), τα κεφάλαια 1, 2, 5, 6, 8, και από το κεφάλαιο 10 οι παράγραφοι 10.1, 10.2.
--------------------------------------------------------------------------
B) Στόχος μας είναι να εξοικοιωθούμε με την κίνηση Brown και το στοχαστικό ολοκλήρωμα. Θα δουλέψουμε αρκετά με τις έννοιες της δεσμευμένης μέσης τιμής και των martingales. Στα έγγραφα υπάρχουν λεπτομέρειες για την ύλη που θα καλύψουμε.
--------------------------------------------------------------------------------
Γ) Εξεταστέα ύλη από τις σημειώσεις.
Οι παρακάτω παράγραφοι δεν είναι στην εξεταστέα ύλη. Χωρίζονται σε δύο κατηγορίες.
1) 7.2, 9.1, 9.2, 10.4.
2) 7.4, 7.6, 8.2. Κεφάλαιο 14.
Στην κατηγορία 1) είναι παράγραφοι τεχνικά δύσκολες. Στην κατηγορία 2) είναι παράγραφοι όχι δύσκολες, τα αποτελέσματα των οποίων όμως δεν έχουν άμεση σχέση με την κατεύθυνση του μαθήματος. Είναι όμως ωραία αποτελέσματα που εξοικειώνουν τον αναγνώστη με την κίνηση Brown. Οι παράγραφοι 9.1, 9.2 έχουν τον ίδιο στόχο, απλώς είναι δυσκολότερες.
Εξαιρούνται επίσης τα εξής:
Απόδειξη Πρότασης 7.3(ii). Απόδειξη Θεωρήματος 11.2. Αποδείξεις Κεφαλαίου 12. Αποδείξεις θεωρημάτων παραγράφων 13.2, 13.3.
