Γραμμική Άλγεβρα Ι Εαρινό 2023 (Τμήμα Κοντογεώργη)

• Παραδείγματα από βάσεις διαφορετικών διανυσματικών χώρων: ο χώρος \(\mathbb{R}^n\), ο χώρος των \(n \times m\), πινάκων, ο χώρος των πολυωνύμων \(\mathbb{R}_{\leq n}[x]\) φραγμένου βαθμού από το \(n).
• Αλγόριθμος κατασκευής βάσεις στον χώρο  \(V\) που παράγεται από τα \(v_1,\ldots,v_m \in \mathbb{R}^n\). Κατασκευάζουμε ένα πίνακα που έχει ως γραμμές τα διανύσματα \(v_1,\ldots,v_m\). Με απαλοιφή Gauss φέρνουμε τον πίνακα σε κλιμακωτή μορφή, οπότε οι μη-μηδενικές γραμμές του κλιμακωτού πίνακα αποτελούν μια βάση του χώρου \(V\). 
• Αν ο χώρος \(V\) παράγεται από \(\mu\) το πλήθος διανύσματα και περιέχει \(n\)  το πλήθος γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία, τότε \(n \leq \mu\). 
• Όλες οι βάσεις ενός διανυσματικού χώρου έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. Ορισμός διάστασης. 
• Κάθε πεπερασμένα παραγόμενος διανυσματικός χώρος έχει βάση. 

Σημειώσεις μαθήματος 27 Μαρτίου 2023