Παρουσίαση/Προβολή

(MATH903) -  Αριστείδης Κοντογεώργης

Περιγραφή Μαθήματος

Σύντομη περιγραφή

Το μάθημα της Άλγεβρας αποτελεί μία από τις θεμελιώδεις εισαγωγές του προπτυχιακού προγράμματος σπουδών στην αφηρημένη (θεωρητική) άλγεβρα. Αντικείμενό του είναι η μελέτη των βασικών αλγεβρικών δομών — κυρίως των ομάδων και των δακτυλίων — και του τρόπου με τον οποίο μια δεδομένη πράξη «οργανώνει» ένα σύνολο. Ο φοιτητής μεταβαίνει από τον υπολογιστικό χειρισμό αριθμών και πολυωνύμων στην αναγνώριση των αφηρημένων δομικών ιδιοτήτων που τα διέπουν, καθώς και στην έννοια της ισομορφίας, δηλαδή του πότε δύο φαινομενικά διαφορετικά σύνολα είναι ουσιαστικά «ίδια» ως προς τη δομή τους.

Το μάθημα χτίζει πάνω στη γλώσσα και τα εργαλεία της Γραμμικής Άλγεβρας και προετοιμάζει το έδαφος για τα προχωρημένα αλγεβρικά μαθήματα των επόμενων εξαμήνων (Θεωρία Ομάδων, Θεωρία Δακτυλίων και Σωμάτων, Μεταθετική Άλγεβρα, Θεωρία Galois).

Στόχοι μάθησης

Με την ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής αναμένεται να:

• κατανοεί και να χειρίζεται με άνεση τις έννοιες της ομάδας, του δακτυλίου και των υποδομών τους·
• διακρίνει πότε ένα σύνολο εφοδιασμένο με μία ή δύο πράξεις αποκτά συγκεκριμένη αλγεβρική δομή·
• αντιλαμβάνεται και να χρησιμοποιεί την έννοια του ομομορφισμού και του ισομορφισμού ως το βασικό εργαλείο σύγκρισης δομών·
• εφαρμόζει θεμελιώδη θεωρήματα (π.χ. θεώρημα Lagrange, θεωρήματα ισομορφισμών) σε συγκεκριμένα προβλήματα·
• αναπτύσσει την ικανότητα διατύπωσης και απόδειξης προτάσεων με αυστηρότητα, περνώντας «από τις υποθέσεις στα συμπεράσματα».

Περιεχόμενο μαθήματος

Το ύλη του μαθήματος αναπτύσσεται, ενδεικτικά, στις ακόλουθες ενότητες:

Ακέραιοι και αριθμητική υπολοίπων. Διαιρετότητα ακεραίων, ευκλείδεια διαίρεση, μέγιστος κοινός διαιρέτης, ισοϋπόλοιπα και αριθμητική modulo n. Οι δομές αυτές λειτουργούν ως το φυσικό πρώτο παράδειγμα αλγεβρικών πράξεων.

Δακτύλιοι. Ορισμός και βασικές ιδιότητες δακτυλίου, ακέραιες περιοχές και σώματα, αντιστρέψιμα στοιχεία και διαιρέτες του μηδενός.

Πολυώνυμα. Δακτύλιοι πολυωνύμων, διαιρετότητα και ευκλείδειος αλγόριθμος στα πολυώνυμα, ανάγωγα πολυώνυμα.

Ομομορφισμοί, ιδεώδη και πηλίκα. Ομομορφισμοί δακτυλίων, ιδεώδη, δακτύλιοι πηλίκα και το θεώρημα ισομορφισμών για δακτυλίους.

Ομάδες. Η έννοια της ομάδας μέσα από τις συμμετρίες και άλλα παραδείγματα, βασικές ιδιότητες, υποομάδες.

Δομή ομάδων. Θεώρημα Lagrange, κυκλικές ομάδες, τάξη στοιχείου, σύμπλοκα.

Κανονικές υποομάδες και ομάδες πηλίκα. Ομομορφισμοί ομάδων, πυρήνας και εικόνα, κανονικές υποομάδες, ομάδες πηλίκα και θεωρήματα ισομορφισμών.

Ημερομηνία δημιουργίας

Κυριακή 2 Αυγούστου 2026