Παρουσίαση/Προβολή

(MATH901) -  Μιλτιάδης Πασχάλης

Περιγραφή Μαθήματος

Το μάθημα αναπτύσσει τη γεωμετρική διατύπωση της κλασικής μηχανικής, όπως αυτή τοποθετείται στο πλαίσιο της συμπλεκτικής γεωμετρίας και άλλων σχετικών γεωμετρικών δομών. Αφετηρία είναι μια αυστηρή διατύπωση της Λαγκραντζιανής μηχανικής στην εφαπτόμενη δέσμη (αρχικά του Ευκλείδειου χώρου), και η παρατήρηση του κυρίαρχου ρόλου της συμμετρίας όσον αφορά τις διατηρήσιμες ποσότητες (θεώρημα Noether) στο πλαίσιο αυτό. Κατόπιν παρουσιάζεται ο μετασχηματισμός Legendre και η μετάβαση στη Χαμιλτονιανή διατύπωση, όπου ο φυσικός χώρος φάσης είναι η συνεφαπτόμενη δέσμη. Στη συνέχεια αναπτύσσονται οι απαραίτητες έννοιες της διαφορικής γεωμετρίας και εισάγεται η έννοια της συμπλεκτικής πολλαπλότητας, της πλέον φυσιολογικής δομής για τη μελέτη των Χαμιλτονιανών συστημάτων, η οποία αναπτύσσεται σε βάθος στο υπόλοιπο του μαθήματος. Συγκεκριμένα παρουσιάζονται τα βασικά αποτελέσματα και οι τεχνικές της συμπλεκτικής γεωμετρίας, όπως η κανονική συμπλεκτική μορφή (θεώρημα Darboux), η ταυτολογική 1-μορφή στη συνεφαπτόμενη δέσμη, τα Χαμιλτονιανά διανυσματικά πεδία, οι αγκύλες Poisson, οι συμπλεκτικές ροές, το θεώρημα διατήρησης του συμπλεκτικού όγκου (Liouville), το θεώρημα επανάληψης του Poincare, οι Λαγκραντζιανές υποπολλαπλότητες, οι παράγουσες συναρτήσεις, οι Χαμιλτονιανές δράσεις ομάδων Lie και οι αντίστοιχες απεικονίσεις ροπής, το θεώρημα Marsden-Weinstein, τα ολοκληρώσιμα συστήματα και το θεώρημα Arnol’d-Liouville, και η εξίσωση Hamilton-Jacobi.  Εφόσον το επιτρέψει ο χρόνος, στα τελευταία μαθήματα μπορεί να παρουσιαστούν και κάποια προχωρημένα θέματα (π.χ. εισαγωγή στη γεωμετρική κβάντωση, θεώρημα non-squeezing του Gromov κ.α.) ανάλογα με τα ενδιαφέροντα των φοιτητών.

 

Προτεινόμενη βιβλιογραφία:

 

• R. Abraham, J. E. Marsden, Foundations of Mechanics.
• A. Cannas da Silva, Lectures in Symplectic Geometry.
• N. M. J. Woodhouse, Geometric Quantization.
• V. I. Arnold, Classical Mechanics.
• P. Libermann, C. M. Marle, Symplectic Geometry and Analytical Mechanics.
• J. M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds.

Ημερομηνία δημιουργίας

Τετάρτη 25 Φεβρουαρίου 2026