Παρουσίαση/Προβολή

(MATH900) -  Μιλτιάδης Πασχάλης

Περιγραφή Μαθήματος

Το μάθημα παρουσιάζει τη θεωρία κατανομών (γενικευμένων συναρτήσεων) ως επέκταση της ανάλυσης των κλασικών συναρτήσεων, και την εφαρμογή τους στην ποιοτική θεωρία των μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ). Αφετηρία είναι η μελέτη των δοκιμαστικών συναρτήσεων, η περιγραφή της τοπολογίας τους και ο ορισμός των κατανομών ως συνεχών γραμμικών συναρτησοειδών στους χώρους των δοκιμαστικών συναρτήσεων. Αναπτύσσεται ο λογισμός των κατανομών, όπου εισάγονται οι κυριότερες πράξεις: πολλαπλασιασμός με λείες συναρτήσεις, η έννοια του φορέα, το localization, καθώς και η σύνθεση κατανομών με ομαλές απεικονίσεις. Στη συνέχεια μελετώνται η παραγώγιση, οι κατανομές με σημειακό φορέα, και η σχέση τους με θεμελιώδεις λύσεις σε υποελλειπτικές ΜΔΕ. Έπειτα αναπτύσσονται τα τανυστικά γινόμενα και η συνέλιξη κατανομών, η ομαλοποίηση ως διαδικασία εξομάλυνσης, καθώς και η σύνδεση των θεμελιωδών λύσεων με τη συνέλιξη. Εισάγεται ο μετασχηματισμός Fourier και η μελετάται η επέκτασή του στις ήπιες κατανομές. Τέλος, παρουσιάζονται εφαρμογές στην ανάλυση γραμμικών ΜΔΕ: ύπαρξη θεμελιωδών λύσεων (θεώρημα Malgrange-Ehrenpreis), η ελλειπτική ομαλότητα, το θεώρημα Paley-Wiener-Schwartz, φασματική ανάλυση των ιδιομορφιών, το σύνολο κυματικού μετώπου και η σχέση του μετασχηματισμού Fourier με τους χώρους Sobolev. Στα τελευταία μαθήματα θα γίνει μία σύντομη εισαγωγή στη θεωρία των ψευδοδιαφορικών τελεστών.

 

Θα ακολουθήσουμε τις σημειώσεις που είναι αναρτημένες στα έγγραφα.

 

Άλλη προτεινόμενη βιβλιογραφία:

 

• G. Friedlander, M. Joshi, Introduction to the Theory of Distributions.
• J. J. Duistermaat, J. A. C. Kolk, Distributions: Theory and Applications.
• L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I: Distribution Theory and Fourier Analysis.
• P. Hintz, An introduction to Microlocal Analysis.
• J. Alvarez, A Mathematical Presentation of Laurent Schwartz’s Distributions.
• H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations.
• G. Folland, Real Analysis.

Ημερομηνία δημιουργίας

Τετάρτη 25 Φεβρουαρίου 2026