Μάθημα : Ανάλυση Ι και Εφαρμογές

Περιεχόμενο του Μαθήματος

Μέθοδοι απόδειξης (εις άτοπον επαγωγή – επαγωγική μέθοδος)

Αριθμοί (φυσικοί – ακέραιοι – ρητοί – άρρητοι – πραγματικοί)

Βασικές ιδιότητες/ανισότητες πραγματικών (Αρχιμήδεια ιδιότητα – Bernoulli – Cauchy – διωνυμικό ανάπτυγμα)

sup – inf (ορισμός – υπολογισμός τους - πληρότητα πραγματικών – τομή Dedekind)

Συναρτήσεις (μονοτονία – ακρότατα – φραγμένες – περιοδικές – άρτιες/περιττές – τριγωνομετρικές – υπερβολικές – αντίστροφες συναρτήσεις – γραφήματα συναρτήσεων)

Ακολουθίες (μονότονες – φραγμένες – υπακολουθίες – όρια ακολουθιών (+ορισμός) – ιδιότητες συγκλινουσών – ακολουθίες Cauchy – ο αριθμός e ως όριο της (1+1/n)ⁿ – αναδρομικές ακολουθίες)

Σειρές (γεωμετρική – αρμονική – κριτήρια σύγκλισης (λόγου/ρίζας) – δυναμοσειρές – ακτίνα σύγκλισης)

Όρια συναρτήσεων (ορισμός)

Συνέχεια συναρτήσεων (ορισμός - είδη ασυνέχειας – ομοιόμορφη συνέχεια – θεώρημα ενδιάμεσων τιμών)

Παράγωγος συνάρτησης (ως όριο και παραγώγιση γνωστών συναρτήσεων – η εφαπτομένη γραφήματος σε σχέση με την παράγωγο – παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης ακρότατα – θεώρημα Rolle – θεώρημα μέσης τιμής)

Taylor (θεώρημα – ανάπτυγμα Taylor ως προσεγγιστική σχέση – υπόλοιπο αναπτύγματος/ακρίβεια προσέγγισης – κανόνας l’Hospital – ανάπτυγμα Taylor βασικών συναρτήσεων)

Ολοκληρώματα (αόριστο/ορισμένο - η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος ως όριο αθροισμάτων - κριτήριο ολοκληρωσιμότητας - θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού – 1ο και 2ο θεώρημα μέσης τιμής του ολοκληρωτικού λογισμού - τεχνικές ολοκλήρωσης [κατά παράγοντες, κλάσμα πολυωνύμων, απλές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, απλές υπερβολικές συναρτήσεις, συναρτήσεις με ρίζες √αx+β, με τη χρήση απλών μετασχηματισμών της μεταβλητής ολοκλήρωσης], γενικευμένα ολοκληρώματα - υπολογισμός εμβαδού επίπεδου σχήματος)