Μάθημα : Άλγεβρες Banach (Θ14)

Δυο κουβέντες για τις Άλγεβρες Banach

The axioms of a complex Banach algebra were very happily chosen. They are simple enough to allow wide
ranging fields of application, notably in harmonic analysis, operator theory, and function algebras. At the
same time they are tight enough to allow the development of a rich collection of results, mainly through the
interplay of the elementary parts of the theories of analytic functions, rings and Banach spaces. Many of
the theorems are things of great beauty, simple in statement, surprising in content, and elegant in proof. We
believe that some of them deserve to be known by every mathematician.
(Από την εισαγωγή στο βιβλίο Complete normed algebras, των F. F. Bonsall και J. Duncan, Springer, 1973.)

“Τα αξιώματα μιας μιγαδικής άλγεβρας Banach αποτέλεσαν μια πολύ ευτυχή επιλογή . Είναι αρκετά απλά
ώστε να επιτρέπουν εφαρμογές σε μεγάλο εύρος περιοχών, όπως στην Αρμονική Ανάλυση, τη Θεωρία Τε-
λεστών και τις Άλγεβρες συναρτήσεων. Την ίδια στιγμή είναι αρκετά “σφιχτοδεμένα” ώστε να επιτρέπουν
την ανάπτυξη μιας πλούσιας συλλογής αποτελεσμάτων, κυρίως μέσα από την αλληλεπίδραση των στοιχειω-
δών τμημάτων της θεωρίας των ολομόρφων συναρτήσεων, των δακτυλίων και των χώρων Banach. Πολλά
θεωρήματα έχουν μεγάλη ομορφιά, είναι απλά στη διατύπωση, με αναπάντεχο περιεχόμενο και με κομψές
αποδείξεις. Πιστεύουμε ότι μερικά αξίζει να τα γνωρίσει κάθε μαθηματικός.”
                                                                     ∗∗∗

Άλγεβρα Banach είναι ένας χώρος Banach εφοδιασμένος με πολλαπλασιασμό που είναι συνεχής. Χοντρικά
μιλώντας, εμφανίζονται σε τρία είδη: άλγεβρες φραγμένων γραμμικών τελεστών σε χώρους Banach (με τη
νόρμα τελεστή και πολλαπλασιασμό τη σύνθεση απεικονίσεων), άλγεβρες φραγμένων συνεχών συναρτή-
σεων (με τη νόρμα supremum και πολλαπλασιασμό κατά σημείο) ή άλγεβρες ολοκληρώσιμων συναρτήσεων
σε τοπικά συμπαγείς ομάδες ( με τη νόρμα L¹ και πολλαπλασιασμό τη συνέλιξη).
Οι άλγεβρες Banach προσφέρουν το κατάλληλο γενικό πλαίσιο για την μελέτη κλασικών προβλημάτων της
Ανάλυσης, όπως, για παράδειγμα, προβλήματα σχετικά με
• τριγωνομετρικές σειρές
• φασματική ανάλυση “άπειροδιάστατων πινάκων”
• αφηρημένη Αρμονική Ανάλυση
Πιο συγκεκριμένα: η μελέτη αλγεβρών Banach συναρτήσεων οδηγεί στην μελέτη της Θεωρίας Προσεγγί-
σεων (Approximation Theory).
Η άλγεβρα L¹ αποτελεί το γενικό πλαίσιο για την μελέτη των μετασχηματισμών Fourier.
Οι άλγεβρες τελεστών σε χώρους Banach και ιδίως Hilbert αποτελούν τη βάση για απειροδιάστατες γενι-
κεύσεις των αλγεβρών πινάκων, και έχουν κρίσιμες εφαρμογές στη Μαθηματική Φυσική και την πρόσφατη
Quantum Information Theory.
Η θεωρία των αλγεβρών Banach αποτελεί μια πολύ ωραία αλληλεπίδραση ανάμεσα στην Άλγεβρα και
την Ανάλυση: συχνά μια τοπολογική ιδιότητα είναι συνέπεια μιας αλγεβρικής συνθήκης. Για παράδειγμα,
κάθε πολλαπλασιαστική γραμμική μορφή είναι αυτομάτως συνεχής. Θεμελιώδες είναι το θεώρημα του B.E.
Johnson, σύμφωνα με το οποίο δυο πλήρεις υποπολλαπλασιαστικές νόρμες σε μια ημιαπλή άλγεβρα είναι
αναγκαστικά ισοδύναμες.