Μάθημα : Θεωρία Ελέγχου (Μεταπτυχιακό)

Θεωρία Ελέγχου (E.12)

Δυναμικά Συστήματα: Ορισμοί, ιδιότητες (αιτιότητα - causality, συμβατότητα - consistency), παραδείγματα. Η έννοια της “εσωτερικής κατάστασης” και του χώρου καταστάσεων. Γενικές κατηγορίες συστημάτων (εισόδου-εξόδου/εσωτερικής κατάστασης, συνεχούς/διακριτού χρόνου, κλπ).

Γραμμικά Συστήματα: Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. ‘Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης. Θεμελιώδης πίνακας λύσεων, πίνακας μεταφοράς. Εκθετικός πίνακας exp(At): Ιδιότητες, υπολογισμός (πίνακες απλής και μή-απλής δομής). Επίλυση συστημάτων καταστάσεως χώρου (μέθοδος μεταβολής παραμέτρων, ολοκλήρωμα συνέλιξης). Μετασχηματισμοί ισοδυναμίας. Το πρόβλημα “πραγματοποίησης” και κανονικές μορφές.

Ανάλυση Γραμμικών Συστημάτων: Μετασχηματισμός Laplace: Ορισμοί, αντίστροφος μετασχηματισμός, Ιδιότητες, μετασχηματισμός Laplace τυπικών συναρτήσεων. Συνάρτηση μεταφοράς, Πόλοι και μηδενικά πολυ-μεταβλητών συστημάτων, κανoνική μορφή Smith-McMillan. Συνάρτηση Συχνοτήτων. Σύνδεση συστημάτων (συστήματα σε σειρά, συστήματα σε παραλληλία, σύνδεση ανάδρασης).

Στοιχεία κλασσικού ελέγχου: Επιθυμητές ιδιότητες/στόχοι σχεδίασης συστήματος ανάδρασης (ευστάθεια, επίδοση, ευρωστία). Κριτήρια εσωτερικής και εξωτερικής ευστάθειας. Ασυμπτωτικός έλεγχος σφάλματος (asymptotic tracking), απόρριψη εξωτερικών διαταραχών (disturbance rejection). “Τύποι” συστημάτων ανάδρασης (system types). Το κριτήριο ευστάθειας Nyquist. Περιθώρια ευστάθειας κέρδους και φάσης (gain/phase stability margins), σχεδίαση δυναμικών αντισταθμιστών απλής δομής (PID, lead/lag).

Μη-γραμμικά Συστήματα: Συνθήκες Lipschitz, Ύπαρξη-μοναδικότητα λύσης. Ευστάθεια κατά Lyapunov, ασυμπτωτική ευστάθεια, εκθετική ευστάθεια, τοπική και ολική ευστάθεια (αυτόνομα συστήματα). Θεωρήματα ευστάθειας/αστάθειας Lyapunov, Lassale και Cataev. Έμμεση μέθοδος Lyapunov, γραμμικοποίηση, Θεώρημα Hartman-Grobman. Η αλγεβρική εξίσωση Lyapunov, Ευστάθεια γραμμικών συστημάτων. Λήμμα Kalman-Yakubovich, Passivity. Απλά προβλήματα μη-γραμμικού ελέγχου.

Ελεγξιμότητα και Παρατηρισιμότητα: Ορισμοί, ιδιότητες, κριτήρια. Κανονικές μορφές Kalman. Α- και (Α,Β)-αναλλοίωτοι υπόχωροι. Στοιχεία γεωμετρικής θεωρίας.

Προσέγγιση συστημάτων: Ισορροπημένες πραγματοποιήσεις (Balanced realisations), ο τελεστής Hankel, μέθοδοι προσέγγισης δυναμικών συστημάτων (balanced truncation, Hankel-norm optimal), φράγματα σφάλματος προσέγγισης.

Εισαγωγή στην σχεδίαση γραμμικών συστημάτων ανάδρασης: Ανάδραση καταστάσεων (state feedback), Παρατηρητές/Εκτιμητές (Observers/Estimators), Η αρχή διαχωρισμού και δυναμικοί αντισταθμιστές. Εισαγωγή στον βέλτιστο έλεγχο: Πρόβλημα Γραμμικής-τετραγωνικής ρύθμισης (LQR, φίλτρο Kalman, πρόβλημα LQG). Πίνακας Hamiltonian και επίλυση εξισώσεων Riccati. Προβλήματα σταθεροποίησης με απόρριψη εξωτερικών διαταραχών (disturbance rejection) και έλεγχο σφάλματος συνάρτησης αναφοράς (tracking). Αρχή εσωτερικού μοντέλου (Internal model principle).

Εισαγωγή στον μή-γραμμικό έλεγχο. Προκαταρκτικά: Στοιχεία διαφορικής γεωμετρίας, λείες πολλαπλότητες, Lie brackets, κατανομές, Θεώρημα Frobenius. Μετασχηματισμοί και τοπικές συντεταγμένες. Ακριβής γραμμικοποίηση μέσω ανάδρασης (exact feedback linearisation), zero-dynamics, ασυμπτωτική σταθεροποίηση μη γραμμικών συστημάτων, έλεγχος ασυμπτωτικού σφάλματος (asymptotic tracking), απόρριψη διαταραχών (distrurbance rejection), ευρωστία (robustness). Εισαγωγή σε μεθόδους μη-γραμμικού ελέγχου “Sliding mode” και “Lyapunov redesign”.

Bιβλιογραφία: 

• Ε. Σ. Γρίσπος – Γ. Η. Καλογερόπουλος: Μαθήματα Θεωρίας Ελέγχου (Σημειώσεις παραδόσεων, Αθήνα 1995).

• Α. Γ. Βαρδουλάκης, Εισαγωγή στην Μαθηματική Θεωρία Σημάτων, Συστημάτων και Ελέγχου, Τόμος Α, Εκδόσεις Τζιόλα, Αθήνα, 2012.

• Γ. Δ. Χαλικιάς, Σημειώσεις παραδόσεων.

• H. K. Khalil, Nonlinear Systems, Prentice Hall, New Jersey, 2002.

• P. J. Antsaklis and A. N. Michel, Linear Systems, McGraw-Hill, 1998

• E.D. Sontag, Mathematical Control Theory, Springer, 1991.