Μηχανική ΙΙ (10ΕΚΟ01)
Πολυμέσα
Κατηγορίες πολυμεσικών αρχείων | Ημερομηνία | |
---|---|---|
ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΙΙ 2021 | ||
Αποτύπωση συνάντησης 19/3 για απορίες ΕΘΣ + Μηχανικής 2 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
19/3/21 | |
Σημειώσεις στη συνάντηση αποριών της 27/4/21. Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Δες στο μάθημα ΕΘΣ για το σχετικό video. |
27/4/21 | |
Διάλεξη 1 (2021) μέρος Α, 1/3/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Γενικά για το μάθημα και διατύπωση της αρχής του Χάμιλτον. |
1/3/21 | |
Διάλεξη 1 (2021) μέρος Β, 1/3/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Περιγραφή της διατύπωσης της αρχής του Χάμιλτον και εφαρμογή αυτής στο ελέυθερο σωματίδιο σε μια διάσταση. |
1/3/21 | |
Διάλεξη 10 (2021) μέρος Α, 8/4/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Διατύπωση και απόδειξη του θεωρήματος της Noether. Συμμετρίες - διατηρήσεις. |
9/4/21 | |
Διάλεξη 10 (2021) μέρος Β, 8/4/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Διατήρηση γενικευμένης ορμής στο δίσκο του Feynman. |
9/4/21 | |
Διάλεξη 11 (2021) μέρος Α, 12/4/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Γενική θεώρηση μετασχηματισμών, συμμετριών, θεωρήματος Noether. Ορολογία. |
14/4/21 | |
Διάλεξη 12 (2021) μέρος Α, 15/4/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ασκήσεις 4, 6 του κεφ 5 του βιβλίου θεωρητικής μηχανικής των ΙΑ |
15/4/21 | |
Διάλεξη 12 (2021) μέρος Β, 15/4/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Άσκηση: Γαλιαλαιϊκή συμμετρία και διατηρούμενη ποσότητα. |
15/4/21 | |
Διάλεξη 13 (2021) μέρος Α, 19/4/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Μετασχηματισμοί στροφής και γεννήτορες αυτών. Διατηρούμενα μεγέθη. Διατηρήσεις από συμμετρικές κατανομής βαρυτικής ύλης. |
19/4/21 | |
Διάλεξη 13 (2021) μέρος Β, 19/4/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Κατασκευή Λαγκρανζιανής συστήματος με δεσμούς. Πολλαπλασιαστές Lagrange. |
19/4/21 | |
Διάλεξη 14 (2021) μέρος Α, 22/4/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ολοκλήρωση της ανάλυσης του κεκλιμένου επιπέδου με πολλ/στές Lagrange. |
22/4/21 | |
Διάλεξη 14 (2021) μέρος Β, 22/4/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Υπολογισμός αντιδράσεων ανάλογα με την κίνηση του επιπέδου. Επιπλέον πλεονέκτημα των πολλ/στών Lagrange η εισαγωγή δεσμών μη επιλύσιμων αναλυτικά. Κίνηση εκκρεμούς με δεσμούς. Κίνηση χάντρας σε ορθή κυλινδρική έλικα και αντιδράσεις. |
22/4/21 | |
Διάλεξη 15 (2021) μέρος Α, 10/5/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Περιγραφή σωματιδίου σε περιστρεφόμενο σύστημα αναφορά. Ψευδοδυνάμεις: Coriolis και φυγόκεντρος. |
10/5/21 | |
Διάλεξη 15 (2021) μέρος Β, 10/5/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Λαγκρανζαινός φορμαλισμός σε στερεά σώματα με ή χωρίς χρήση εξισώσεων δεσμών. |
10/5/21 | |
Διάλεξη 16 (2021) μέρος Α, 13/5/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Εισαγωγή σε συστήματα που αναλύονται σε κανονικούς τρόπους ταλάντωσης. |
13/5/21 | |
Διάλεξη 16 (2021) μέρος Β, 13/5/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Πρόβληματα με δεσμούς και πολλ/στές Lagrange. |
13/5/21 | |
Διάλεξη 17 (2021) μέρος Α, 17/5/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ολοκλήρωση της άσκησης με την περιστρεφόμενη ράβδο και το μαγνητικό πεδίο. Γραμμικοποίηση της Λαγκρανζιανής του 2πλού εκκρεμούς. |
20/5/21 | |
Διάλεξη 17 (2021) μέρος Β, 17/5/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Πίνακες κινητικής και δυναμικής ενέργειας. Εξισώσεις κίνησης 2πλού εκκρεμούς. |
20/5/21 | |
Διάλεξη 18 (2021) μέρος Α, 20/5/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Αντιμετώπιση και γραμμικοποίηση γενικού συστήματος που έχει σημείο(α) ισορροπίας. |
20/5/21 | |
Διάλεξη 18 (2021) μέρος Β, 20/5/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ασκήσεις, γραμμικοποίησης και κατασκευής πινάκων κινητικής/δυναμικής ενέργειας. |
20/5/21 | |
Διάλεξη 19 (2021) μέρος Α, 24/5/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Κατασκευή των εξισώσεων Euler-Lagrange για τη γραμμικοποιημένη Λαγκρανζιανή. Εύρεση των ιδιοσυχνοτήτων μέσω του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. |
25/5/21 | |
Διάλεξη 19 (2021) μέρος Β, 24/5/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Εύερεση των κανονικών τρόπων ταλάντωσης. Κατασκευή γενικής λύσης από τις αρχικές συνθήκες. Εφαρμογή στο 2πλό εκκρεμές. |
25/5/21 | |
Διάλεξη 2 (2021) μέρος Α, 4/3/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Συζήτηση περί της στασιμότητας της δράσης και του μεγέθους και του τρόπου της αλλαγής της διαδρομής. Αναζήτηση τρόπων εύρεσης της φυσικής διαδρομής. |
5/3/21 | |
Διάλεξη 2 (2021) μέρος Β, 4/3/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ασκήσεις: (1) Εύρεση (και ελαχιστοποίηση) της δράσης σωματιδίου σε βαρυτικό πεδίο γθια διαδρομές διγραμμικές ως προς το χρόνο. (2) Αναλυτική εύρεση της διαδρομής που καθιστά το μήκος της φωτεινής διαδρομής ελάχιστο (ασνάκλαση) και το χρόνο της φωτεινής διαδρομής ελάχιστο (διάθλαση). |
5/3/21 | |
Διάλεξη 20 (2021) μέρος Α, 27/5/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Γενική αντιμετώπιση συστήματος με σημεία ισορροπίας (γραφή γραμμικοποιημένης Λαγκρανζιανής, εξισώσεων EL, χαρακτηριστικό πολυώνυμο, εύρεση ιδιοσυχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης). Ανάλυση σε μονοδιάστατους αρμ. ταλαντωτές. |
28/5/21 | |
Διάλεξη 20 (2021) μέρος Β, 27/5/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ανάλυση του 2πλού εκκρεμούς γύρω από ασταθές σ. ισορροπίας. [Η συζήτηση στο τέλος κόπηκε και θα επαναληφθεί στην επόμενη διάλεξη μαζί με κάποια περαιτέρω ανάλυση.] |
28/5/21 | |
Διάλεξη 21 (2021) μέρος Α, 31/5/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Υπόλοιπα περιγραφής κίνησης γύρω από ασταθή σημεία ισορροπίας (θετικός και μη θετικός πίνακας δυναμικής ενέργειας). |
31/5/21 | |
Διάλεξη 21 (2021) μέρος Β, 31/5/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Μετασχηματισμός Legendre και κατασκευή Χαμιλτονιανής συνάρτησης. |
31/5/21 | |
Διάλεξη 22 (2021) μέρος Α, 3/6/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Χώρος φάσεων. Τι σημαίνουν οι εξισώσεις Χάμιλτον όσον αφορά την εξέλιξη του συστήματος στο χώρο των φάσεων. |
3/6/21 | |
Διάλεξη 22 (2021) μέρος Α, 3/6/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Χώρος φάσεων. Τι σημαίνουν οι εξισώσεις Χάμιλτον όσον αφορά την εξέλιξη του συστήματος στο χώρο των φάσεων. |
3/6/21 | |
Διάλεξη 22 (2021) μέρος Β, 3/6/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Άσκηση: Ανάλυση κανονικών τρόπων ταλάντωσης στο σύστημα μάζα με 3 ελατήρια το σταθερό άκρο των οποίων βρίσκεται στις κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. Περίπτωση εκφυλισμού. Η ορθογωνιότητα των καν. τρ. ταλ. δεν έρχεται αυτόματα αλλά μπορεί να γίνει με κατάλληλη επιλογή των καν. τρ. ταλ. |
3/6/21 | |
Διάλεξη 23 (2021) μέρος Α, 7/6/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ροή στο χώρο των φάσεων. Θεώρημα Liouville. |
8/6/21 | |
Διάλεξη 23 (2021) μέρος Β, 7/6/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Παραδείγματα συστημάτων 1 βαθμού ελευθερίας με Χαμιλτονιανό φορμαλισμό. |
8/6/21 | |
Διάλεξη 24 (2021) μέρος Α, 10/6/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Χώρος φάσεων εκκρεμούς. Ρυθμός μεταβολής μεγεθών και αγκύλες Poisson. Ιδιότητες των αγκυλών. |
11/6/21 | |
Διάλεξη 24 (2021) μέρος Β, 10/6/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Εφαρμογή Χαμιλτονιανού φορμαλισμού σε φορτισμένο σωματίδιο σε ΗΜ ομογενές μαγνητικό πεδίο. |
11/6/21 | |
Διάλεξη 25 (2021) μέρος Α, 14/6/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Αγκύλες Poisson, ιδιότητες, ιδιότητα Jacobi, κατασκευή νέων ολοκληρωμάτων κίνησης από δοσμένα, εξισώσεις Hamilton μέσω αγκυλών Poisson. |
14/6/21 | |
Διάλεξη 25 (2021) μέρος Β, 14/6/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ανασκόπηση των βασικών ιδεών-εννοιών του μαθήματος. |
14/6/21 | |
Διάλεξη 3 (2021) μέρος Α, 8/3/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Προσπάθειες στασιμοποίησης της δράσης. Μετατροπή του συναρτησοειδούς της δράσης σε μια προσεγγιστική συνάρτηση πολλών μεταβλητών. |
9/3/21 | |
Διάλεξη 3 (2021) μέρος Β, 8/3/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος 2η προσπάθεια, με ανάπτυγμα Taylor της δράσης ως προς το μικρό μέθεθος της παραλλαγής. Ισοδυναμία αρχής Hamilton και 2ου νόμου του Νεύτωνα. Αποδειξη μαθηματική της πρότασης ότι μόνο η μηεδενική συνάρτηση μηδενίζει το ολοκλήρωμα του γινομένου με μια οποιαδήποτε συνάρτηση. Κβαντική και κλασσική μηχανική, πως συνδέονται (η κβαντική μηχανική μέσω ολοκληρωμάτων διαδρομών του Feynman). |
9/3/21 | |
Διάλεξη 4 (2021) μέρος Α, 11/3/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Κατασκευή εξισώσεων Euler-Lagrange που εξασφαλίζουν τη στασιμοποίηση της δράσης. Η Λαγκρανζιανή ως συνάρτηση ανεξάρτητα της θέσης, της ταχύτητας και του χρόνου. Παραδείγματα εξισώσεων E-L για δοσμένα απλά μηχανικά προβλήματα. |
11/3/21 | |
Διάλεξη 4 (2021) μέρος Β, 11/3/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ασκήσεις: (1) Ανάλυση του σχήματος 1.7 του 1ου κεφαλαίου του βιβλίου Ι&Α. (2) Πρόβλημα 6 του 1ου κεφαλαίου του βιβλίου Ι&Α (θα συνεχιστεί...) |
11/3/21 | |
Διάλεξη 5 (2021) μέρος Α, 18/3/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ελευθερίες στον προσδιορισμό της L. Μετασχηματισμός (ανα)βαθμονόμησης. Σπάσιμο της L σε απλούστερες. |
18/3/21 | |
Διάλεξη 5 (2021) μέρος Β, 18/3/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ασκήσεις: Υπολογισμός ελαχίστων γεωμετρικού ή φυσικού χαρακτήρα με το λογισμό μεταβολών που αναπτύχθηκε (δλδ. μέσω της(των) εξίσωσης(εξισώσεων) E-L. |
18/3/21 | |
Διάλεξη 6 (2021) Μέρος Α 22/3/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Περί της σχέσης της L με τις παραγώγους της θέσης και των εξισώσεων κίνησης. Εξισώσεις κίνησης σε καρτεσιανές vs πολικές συντεταγμένες. |
22/3/21 | |
Διάλεξη 6 (2021) μέρος Β, 22/3/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Αναλλοιότητα των εξισώσεων Euler-Lagrange σε αλλαγές συντεταγμένων. Ελεύθερο σωματίδιο σε δύο διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων \(\to\) συμβατές εξισώσεις κίνησης. |
22/3/21 | |
Διάλεξη 7 (2021) μέρος Α, 29/3/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Κατασκευή Λαγκρανζιανής ελεύθερου σωματιδίου από πρώτες αρχές. |
30/3/21 | |
Διάλεξη 7 (2021) μέρος Β, 29/3/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Λαγκρανζιανή αλληλεπιδρώντων σωματιδίων. Λαγκρανζιανή συστημάτων με ανάλωση. Λαγκρανζιανή φορτισμένου σωματιδίου σε Η/Μ πεδίο (αρχή). |
30/3/21 | |
Διάλεξη 8 (2021) μέρος Α, 1/4/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Υπολογισμός της καμπύλης βραχυστοχρόνου. |
1/4/21 | |
Διάλεξη 8 (2021) μέρος Β, 1/4/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Εύρεση γεωδαισιακών σφαίρας. Συζήτηση περί ελαχίστου-μεγίστου των στασίμων. Αναλογία με τη δράση αρμονικού ταλαντωτή. Σπάσιμο της Λαγκρανζιανής σε ΚΜ και σχετική θέση. |
1/4/21 | |
Διάλεξη 9 (2021) μέρος Α, 6/4/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Υπολογισμός της Λαγκρανζιανής φορτισμένου σωματιδίου σε Η/Μ πεδίο. |
6/4/21 | |
Διάλεξη 9 (2021) μέρος Β, 6/4/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ελευθερία καθορισμού της Λαγκρανζιανής που απορρέει από την ελευθερία προσδιορισμού του βαθμωτού και ανυσματικού δυναμικού. Επίλυση των εξισώσεων E-L για σωματίδιο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο. Γενικευμένη ορμή, δύναμη. Κυκλικές μεταβλητές. Άλλες διατηρήσεις. |
6/4/21 | |
Διάλεξη11 (2021) μέρος Β, 12/4/21 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Εφαρμογή του θεωρήματος Noether στην εύρεση διατηρούμενων ποσοτήτων. Διατήρηση συνολικής ορμής απομονωμένου συστήματος με δυναμικά αλληλεπίδρασης που σέβονται τηον 3ο νόμο του Νεύτωνα. Συζήτηση περί στροφών. |
14/4/21 | |
Πολύ καλό video από τον Steven Strogatz για το βραχυστόχρονο. Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
1/4/21 | |
ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΙΙ 2022 | ||
18η Διάλεξη Σημειώσεις διαδικτυακού μαθήματος της 26/5/22 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
27/5/22 | |
19η διάλεξη σημειώσεις διαδικτυακού μαθήματος 30/5/22 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
30/5/22 | |
Σχετικά με τις αγκύλες Poisson και την ταυτότητα του Jacobi (διάλεξη 21) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
20/6/22 | |
10η Διάλεξη (μόνο 1 ώρα λόγω διεξαγωγής συνέλευσης φοιτητικού συλλόγου) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Λύθηκε-συζητήθηκε το πρόβλημα 2.7 περί καμπύλωσης του φωτός σε μέσο με μεταβαλλόμενο δείκτη διάθλασης |
7/4/22 | |
11η Διάλεξη 1ο Μέρος (7/4/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Θεώρημα της Noether. Συμμετρίες της δράσης. Μετασχηματιμοί και γεννήτορες αυτών. Σύνδεση συμμετριών με διατηρούμενα μεγέθη. Διατήρηση της ολικής ορμής αλληλεπιδρώντων σωματιδίων ως απόρροια της συμμετρίας της Λαγκρανζιανής (και της δράσης) σε χωρικές μεταθέσεις. Πρβλ. 5.4 και 5.6. |
14/4/22 | |
11η Διάλεξη 2ο Μέρος (7/4/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
18/4/22 | |
11η Διάλεξη 3ο Μέρος (7/4/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
18/4/22 | |
12η Διάλεξη 1ο Μέρος (11/4/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Γενικευμένο Θεώρημα Noether. Χωρο-χρονικοί μετασχηματισμοί συντεταγμένων. Διατήρηση ενέργειας εξαιτίας χρονο-ανεξαρτησίας Λαγκρανζιανών. Ολοκλήρωμα Jacobi. |
14/4/22 | |
12η Διάλεξη 2ο Μέρος (11/4/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
14/4/22 | |
13η Διάλεξη 1ο Μέρος (14/4/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Στροφές: Απειροστές και πεπερασμένες. Διανυσματική λειτουργία των απειροστών στροφών. Μη μεταθετικότητα των πεπερασμένων στροφών. Απειροστές στροφές ως συμμετρία της Λαγκρανζιανής συστήματος αλληλεπιδρώντων σωματιδίων (απαιτείται όχι μόνο οι δυνάμεις δράσεις-αντίδρασης να είναι αντίθετες, αλλά και στη διευθυνση που συνδέει τα δύο σωματίδια). Διατήρηση της στροφορμής, ως συνέπεια της συμμετρίας σε στροφές. |
18/4/22 | |
13η Διάλεξη 2ο Μέρος (14/4/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
18/4/22 | |
13η Διάλεξη 3ο Μέρος (14/4/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
18/4/22 | |
14η Διάλεξη 1ο Μέρος (5/5/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ανάλυση της Λαγκρανζιανής και των εξισώσεων κίνησης σωματιδίου σε δυναμικό, σε περιστρεφόμενο σύστημα. Σχετικό πρόβλημα, ανάλυση της κίνησης του εκκρεμούς του Foucault. Εισαγωγή στους κανονικούς τρόπους ταλάντωσης. Περιγραφή της Λαγκρανζιανής 3 σύνθετων συστημάτων (Α) 2 μάζες και 3 ελατήρια στη σειρά, (Β) διπλό εκκρεμές, (Γ) ένας σύνθετος πολυταλαντωτής. Συζήτηση περί κατάστασης ισορροπίας και γραμμικοποιημένης Λαγκρανζιανής. |
6/5/22 | |
14η Διάλεξη 2ο Μέρος (5/5/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
6/5/22 | |
14η Διάλεξη 3ο Μέρος (5/5/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
6/5/22 | |
15η Διάλεξη 1ο Μέρος (9/5/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Γιατί η γραμμικοποίηση ενός συστήματος με πολλούς βαθμούς ελευθερίας γύρω από μια κατάσταση ισορροπίας παίρνει διγραμμική μορφή. Διευκρίνηση: Η γραμμικοποιημένη Λαγκρανζιανή περιγράφει αξιόπιστα ένα φυσικό σύστημα, ενόσω αυτό βρίσκεται κοντά σε κατάσταση ισορροπίας. Ανάλυση του διπλού εκκερμούς: Συζήτηση για την πλήρη Λαγκρανζιανή του και την χαοτικότητα των δυνατών κινήσεών του. Γραμμικοποίηση αυτής γύρω από τις 4 καταστάσεις ισορροπίας. Πίνακας κινητικής κια δυναμικής ενέργειας. Εξισώσεις Euler-Lagrange υπό μορφή πινάκων. |
10/5/22 | |
15η Διάλεξη 2ο Μέρος (9/5/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Στο 50:22 κατά λάθος έγραψα \(x_j\) αντί \(\dot{x_j}\) όπως μου επισήμανε κάποιος συνάδελφός σας. |
10/5/22 | |
16η Διάλεξη 1ο Μέρος (12/5/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Διευκρινίσεις σχετικά τη γραμμικοποιημένη Λαγκρανζιανή. Πώς βρίσκουμε τις καταστάσεις ισορροπίας. Χρήση πινάκων για τη γραφή της γραμμικοποιημένης Λαγκρανζιανής και των εξισώσεων Euler-Lagrange. Συζήτηση περί πινάκων-ιδιοανυσμάτων-ιδιοτιμών και γεωμετρική τους ερμηνεία. Κατασκευή των ιδιοσυχνοτήτων και των κανονικών τρόπων ταλάντωσης του φυσικού συστήματος γύρω από κάποια θέση ισορροπίας. Υπολογισμός των ιδιοσυχνοτήτων και των τρόπων ταλάντωσης του διπλού εκκρεμούς. Γενική λύση αυτού. |
13/5/22 | |
16η Διάλεξη 2ο Μέρος (12/5/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
13/5/22 | |
16η Διάλεξη 3ο Μέρος (12/5/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
13/5/22 | |
17η Διάλεξη 1ο Μέρος (16/5/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ιδιότητες των κανονικών τρόπων ταλάντωσης. Ανάλυση της Λαγκρανζιανής σε ανεξάρτητους αρμονικούς ταλαντωτές. Μελέτη των ασταθειών και συσχέτιση με μη θετικό πίνακα δυναμικής ενέργειας. |
18/5/22 | |
17η Διάλεξη 2ο Μέρος (16/5/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
18/5/22 | |
18η Διάλεξη (διαδικτυακό) 26/5/22 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Πολλαπλασιαστές Lagrange. Φυσικά συστήματα με δεσμούς. Προβλήματα. |
27/5/22 | |
19η Διάλεξη (διαδικτυακό) 30/5/22 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Χαμιλτονιανός φορμαλισμός, Χαμιλτονιανή συνάρτηση, Εξισώσεις Hamilton, Χώρος φάσεων. Παραδείγματα φυσικών συστημάτων. |
30/5/22 | |
1η Διάλεξη (28/2/22) 1ο μέρος Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Περί αρχής του Χάμιλτον και σχέσης με τη Φυσική. Διάφορες αρχές ελαχίστου. Έλεγχος της αρχής του Hamilton για άνοδο και κάθοδο στο βαρυτικό πεδίο. |
28/2/22 | |
1η Διάλεξη (28/2/22) 2ο μέρος Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
28/2/22 | |
20η Διάλεξη 1ο Μέρος (3/6/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Χαμιλτονιανή συνάρτηση για σύστημα με παραπάνω από ένα βαθμό ελευθερίας. Μετασχηματισμός Legendre για κατασκευή της Λαγκρανζιανής από τη Χαμιλτονιανή. Χαμιλτονιανή φορτισμένου σωματιδίου σε Η/Μ πεδίο. Χώρος φάσεων. Διατύπωση του θεωρήματος Liouville και γραφική απόδειξη σε 2D χώρο φάσεων. Ερμηνεία του "ρευστού" στο χώρο των φάσεων. |
9/6/22 | |
20η Διάλεξη 2ο Μέρος (3/6/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
9/6/22 | |
20η Διάλεξη 3ο Μέρος (3/6/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
9/6/22 | |
21η Διάλεξη 1ο Μέρος ( 9/6/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Θεώρημα Liouville με απόδειξη. Αγκύλες Poisson (ορισμός, ιδιότητες, χρήση). Η αγκύλη Poisson ως γεννήτορας μετασχηματισμών. Κανονικοί μετασχηματισμοί (ορισμός, νέες δυνατότητες επαναορισμού των συντεταγμένων στο χώρο των φάσεων). |
20/6/22 | |
21η Διάλεξη 2ο Μέρος (9/6/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
20/6/22 | |
21η Διάλεξη 3ο Μέρος (9/6/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
20/6/22 | |
2η Διάλεξη 1ο μέρος (3/3/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ελαχιστοποίηση δράσης μέσω διερεύνησης συγκεκριμένων μορφών διαδρομών. Στασιμοποίηση δράσης μέσω διακριτοποίησης διαδρομών. Ανάλυση της έννοιας της στασιμοποίησης. Σχέση φυσικής διαδρομής και παραλλαγμένης διαδρομής. Ασκήσεις: 7α,β, 8 (από βιβλίο ΙΑ) |
9/3/22 | |
2η Διάλεξη 2ο μέρος (3/3/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
9/3/22 | |
2η Διάλεξη 3ο μέρος (3/3/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
9/3/22 | |
3η Διάλεξη 1ο μέρος (10/3/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Τρόπος εύρεσης στασίμου και συσχέτιση με τον 2ο νόμο του Νεύτωνα |
14/3/22 | |
3η Διάλεξη 2ο μέρος (10/3/22) [Λόγω επικείμενης κακοκαιρίας διεκόπει στο 0:16] Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
14/3/22 | |
4η Διάλεξη 1ο μέρος (14/3/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Σχέση στασιμοποίησης δράσης και 2ου Νόμου Νεύτωνα. Απόδειξη μαθηματικού θεωρήματος περί ορογωνιότητας συναρτήσεων. Σχέση κβαντομηχανικής και δράσης. |
21/3/22 | |
4η Διάλεξη 2ο μέρος (14/3/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
21/3/22 | |
5η Διάλεξη 1ο μέρος (17/3/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Εξάρτηση από διάφορες μεταβλητές. Εξισώσεις Euler-Lagrange. Επίλυση φυσικού προβλήματος (ελεύθερο σωματίδιο) και γεωμετρικού προβλήματος (εύρεση καμπύλης με ελάχιστο μήκος). Πρόβλημα περί του τι είδους στάσιμο είναιη λύση του αρμονικού ταλαντωτή για χρόνο ίσο με 1 περίοδο. |
21/3/22 | |
5η Διάλεξη 2ο μέρος (17/3/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
21/3/22 | |
5η Διάλεξη 3ο μέρος (17/3/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
21/3/22 | |
6η Διάλεξη 1ο μέρος (21/3/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Από τι μεταβλητές μπορεί να εξαρτάται η Λαγκρανζιανή; Σχέτη τάξης διαφορικής εξίσωσης και Λαγκρανζιανής. Ελευθερίες στον προσδιορισμό της Λαγκρανζιανής. Μετασχηματισμός (ανα)βαθμονόμησης. Πρβλ: Χρήση του λογιμού μεταβολών για τη στασιμοποίηση του συναρτησοειδούς που οδηγεί στη λύση του βραχυστόχρονου. |
24/3/22 | |
6η Διάλεξη 2ο μέρος (21/3/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
24/3/22 | |
6η Διάλεξη 3ο μέρος -αναπλήρωση- (21/3/22) [Ξεκινά στο ~0:10] Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
24/3/22 | |
7η Διάλεξη 1ο μέρος (24/3/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Κατσκευή Λαγκρανζιανής ελευθέρου σωματιδίου από πρώτες αρχές και συμμετρίες. Κατασκευή Λαγκρανζιανής αλληλεπιδρώντων σωματιδίων. Πρβλ. (2.1) Σύνδεση του προβλήματος στασιμοποίησης της δράσης ενός αρμονικού ταλαντωτή με την στασιμοποίηση του μήκους της καμπύλης πάνω σε μια σφαίρα. Ύπαρξη δύο ειδών στάσιμες λύσεις: μικρές και μεγάλες. Οι μεν μικρές είναι ελάχιστα, οι δε μεγάλες ούτε ελάχιστα ούτε μέγιστα (περισσότερες λεπτομέρειες για τα τελευταία λεπτά που χάθηκαν στο 3ο μέρος). |
25/3/22 | |
7η Διάλεξη 2ο μέρος (24/3/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
25/3/22 | |
7η Διάλεξη 3ο μέρος (24/3/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Το βίντεο διεκόπη στο 0:49. Στο κομμάτι που λείπει, ολίγων λεπτών, σχολιάζεται η συσχέτιση του στάσιμου που αφορά την μεγάλη διαδρομή (αυτήν με το μεγάλο τόξο) με το στάσιμο της δράσης του αρμονικού ταλαντωτή για χρόνο \(Τ\). Και στις δύο περιπτώσεις το στάσιμο δεν είναι ούτε ελάχιστο ούτε μέγιστο αφού βρίσκει κανείς παραλλαγές της στάσιμης λύσης που μεγαλώνουν, που μικραίνουν και που αφήνουν ίδια την τιμή του συναρτησοειδούς. Σχολιάζεται επίσης ότι σύμφωνα με σχετικό θεώρημα του Καραθεοδωρή για αρκούντως μικρά διαστήματα ολοκλήρωσης το στάσιμο δεν μπορεί να έχει τα παραπάνω χαρακτηριστικά και είναι ελάχιστο (ή μέγιστο) αναλόγως με το πρόσημο του συναρτησοειδούς. Επίσης κατόπιν επισήμανσης φοιτητή διορθώθηκε λάθος. Το μήκος της διαδρομής τύπου Ι δεν είναι \(\theta_B\) αλλά \(2 \pi - \theta_B\). Επομένως το κουτί στο άνω αριστερά μέρος του πίνακα θα έπρεπε ορθώς να γράφει \(s_{ΑΔ'Β}>s_{ΑΔΒ}=2\pi-\theta_B\) και το ίδιο για την τιμή του \(s_{ΑΔΒ}\) στο 2ο κουτί.. |
25/3/22 | |
8η Διάλεξη 1ο μέρος (28/3/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Κατασκευή της Λαγκρανζιανής φορτισμένου σωματιδίου σε Η/Μ πεδίο (συνεχίζεται...) Χρήση δεικτών για την εξαγωγή διανυσματικών ταυτοτήτων. Αθροιστική σύμβαση του Einstein. |
31/3/22 | |
8η Διάλεξη 2ο μέρος (28/3/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
31/3/22 | |
9η Διάλεξη 1ο μέρος (31/3/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ολοκλήρωση της εξαγωγής της Λαγκρανζιανής φορτισμένου σωματιδίου. Δίσκος του Feymnan και στροφορμή του μαγνητικού πεδίου. Πρβλ.: 1) Αλλαγή Λαγκρανζιανής λόγω αλλαγής συστήματος αναφοράς. 2) Κατασκευή Λαγκρανζιανής για αναλωτικά δυνάμεις με εξάρτηση από την ταχύτητα. |
3/4/22 | |
9η Διάλεξη 2ο μέρος (31/3/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
3/4/22 | |
9η Διάλεξη 3ο μέρος (31/3/22) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
3/4/22 | |
ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΙΙ 2023 | ||
01η Διάλεξη 1ο Μέρος (20-2-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Διαδικαστικά του μαθήματος. Βιβλιογραφία. Εισαγωγή στην αρχή στάσιμης δράσης κια εφαρμογή αυτής στο ελεύθερο σωματίδιο. Απόδειξη ότι η μοναδική συνάρτηση που έχει την ιδιότητα να μηδενίζεται το ολοκλήρωμά της σε ένα διάστημα, αφού πρώτα πολλαπλασιαστεί με οποιαδήποτε άλλη συνάρτηση, είναι η μηδενική. |
22/2/23 | |
01η Διάλεξη 2ο Μέρος (20-2-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
22/2/23 | |
02η Διάλεξη 1ο Μέρος (23-2-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Επανάληψη βασικών εισαγωγικών εννοιών. Ιστορία αρχών ελαχίστου (ή στασίμου). Διερέυνηση της αρχής του Χάμιλτον για την κίνηση ενός σώματος σε ομογενές βαρυτικό πεδίο: (α) Μέσω της γνωστής κίνησης και παραλλαγές αυτής, (β) μέσω οικογενειών τροχιών και (γ) μέσω διακριτοποίησης της τροχιάς. |
23/2/23 | |
02η Διάλεξη 2ο Μέρος (23-2-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
23/2/23 | |
02η Διάλεξη 3ο Μέρος (23-2-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
23/2/23 | |
03η Διάλεξη 1ο Μέρος (2-3-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος 2ος Νόμος του Νέυτωνα και δράση περί της φυσικής διαδρομής. Κβαντομηχανική περιγραφή σωματιδίου και αρχη ελάχιστης δράσης. Η κλασική διαδρομή ως πιθανοκρατικά επικρατούσα μεταξύ των μη αποδεκτών κλασικά διαδρομών για ένα κβαντομηχανικό σωματίδιο. Ποσοτικοποίηση της "μη κλασικότητας" μιας διαδρομής στην περίπτωση του ελεύθερου σωματιδίου. |
4/3/23 | |
03η Διάλεξη 2ο Μέρος (2-3-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
4/3/23 | |
03η Διάλεξη 3ο Μέρος (2-3-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
4/3/23 | |
04η Διάλεξη 1ο Μέρος (6-3-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Η στασιμοποίηση μιας Λαγκρανζιανής της μορφής \( L(\vec{x},\dot{\vec{x}},t) \) οδηγεί σε ένα πλήθος εξισώσσεων Euler-Lagrange, τόσων, όσοι οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος (δλδ. το πλήθος συντεταγμένων που απαιτείται για την περιγραφή του). |
8/3/23 | |
04η Διάλεξη 2ο Μέρος (6-3-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
8/3/23 | |
05η Διάλεξη 1ο Μέρος (13-3-3-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ελευθερίες στην κατασκευή της Λαγκρανζιανήςε. Μετασχηματισμός αναβαθμονόμησης. Γιατί θεωρούμε την εξάρτηση της Λαγκρανζιανής από την ταχύτητα, ως ανεξάρτητη αυτής της θέσης. Κατασκευή του βραχυστοχρόνου. |
15/3/23 | |
05η Διάλεξη 2ο Μέρος (13-3-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
15/3/23 | |
06η Διάλεξη 1ο Μέρος (20-3-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Αναλλοιότητα των εξισώσεων Euler-Lagrange ως επαναπαραμετροποίηση της στάσιμης διαδρομής και αναλυτικά ως διατήρηση της μορφής των εξισώσεων με χρήση δεικτών. Εφαρμογές: (α) από καρτεσιανές σε πολικές συντεταγμένες, (β) από αδρανειακό σε αδρανειακό σύστημα αναφοράς, (γ) από αδρανειακό σε μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς. |
23/3/23 | |
06η Διάλεξη 2ο Μέρος (20-3-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
23/3/23 | |
06η Διάλεξη 3ο Μέρος-συμπληρωματικό (20-3-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
23/3/23 | |
07η Διάλεξη 1ο Μέρος (23-3-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Λαγκρανζιανή σε αναλωτικά μηχανικά συστήματα. Τα αναλωτικά ως μη θεμελιώδη προβλήματα. |
26/3/23 | |
07η Διάλεξη 2ο Μέρος (23-3-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
26/3/23 | |
07η Διάλεξη 3ο Μέρος (23-3-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
26/3/23 | |
08η Διάλεξη 1ο Μέρος (27-3-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Κατασκευή του ανυσματικού δυναμικού ενός ομογενούς μαγνητικού πεδίου (σε καρτεσιανές και κυλινδρικές συντεταγμένες) Ελευθερία προσδιορισμού του ανυσματικού δυναμικού. Κατασκευή της Λαγκρανζιανής του δίσκου του Feynman. Αντιμετώπιση της παρουσίας δεσμών με απλή αντικατάσταση της δοθείσας σχέσης των συντεταγμένων που ικανοποιεί το δεσμό. |
3/4/23 | |
08η Διάλεξη 2ο Μέρος (27-3-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
3/4/23 | |
08η Διάλεξη 3ο Μέρος-συμπληρωματικό (27-3-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
3/4/23 | |
09η Διάλεξη 1ο Μέρος (30-3-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Το τρυκ του Landau για τη γραφή μιας Λαγκρανζιανής. Είδη δεσμών (ρεόνομοι-σκληρόνομοι, ολόνομοι-μη ολόνομοι). Το θεωρητικό πρόβλημα αντιμετώπισης των δεσμών με εφαρμογή της εξίσωσης του δεσμού. |
3/4/23 | |
09η Διάλεξη 2ο Μέρος (30-3-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
3/4/23 | |
09η Διάλεξη 3ο Μέρος (30-3-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
3/4/23 | |
10η Διάλεξη 1ο Μέρος (3-4-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Συζήτηση-ανάλυση του παραδόξου των 2 διαφορετικών Λαγκρανζιανών στο πρόβλημα της χάντρας σε κώνο. |
3/4/23 | |
10η Διάλεξη 2ο Μέρος (3-4-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
3/4/23 | |
10η Διάλεξη 3ο Μέρος-συμπληρωματικό (3-4-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
3/4/23 | |
11η Διάλεξη 1ο Μέρος (6-4-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Μη ολόνομοι Δεσμοί |
20/4/23 | |
11η Διάλεξη 2ο Μέρος (6-4-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
20/4/23 | |
11η Διάλεξη 3ο Μέρος (6-4-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
20/4/23 | |
12η Διάλεξη 1ο Μέρος (24-4-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Γαλιλαϊκή συμμετρία ως παράδειγμα ημισυμμετρίας και διατήρηση της αρχικής θέσης του ΚΜ. |
27/4/23 | |
12η Διάλεξη 2ο Μέρος (24-4-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
27/4/23 | |
12η Διάλεξη 3ο Μέρος (24-4-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
27/4/23 | |
13η Διάλεξη 1ο Μέρος (27-4-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος (1ο-2ο Μέρος) Μικρές ταλαντώσεις - κανονικοί τρόποι ταλάντωσης |
28/4/23 | |
13η Διάλεξη 2ο Μέρος (27-4-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
28/4/23 | |
13η Διάλεξη 3ο Μέρος (27-4-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
28/4/23 | |
14η Διάλεξη 1ο Μέρος (4-5-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ανάλυση των κανονικών τρόπων ταλάντωσης του διπλού εκκρεμούς. |
8/5/23 | |
14η Διάλεξη 2ο Μέρος (4-5-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
8/5/23 | |
14η Διάλεξη 3ο Μέρος (4-5-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
8/5/23 | |
15η Διάλεξη 1ο Μέρος (8-5-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ιδιότητες των κανονικών τρόπων ταλάντωσης: |
15/5/23 | |
15η Διάλεξη 2ο Μέρος (8-5-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
15/5/23 | |
15η Διάλεξη 3ο Μέρος (8-5-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
15/5/23 | |
16η Διάλεξη 1ο Μέρος (15-5-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Χαμιλτονιανή: Γιατί ο Λαγκρανζιανός φορμαλισμός είναι δύσκλος να εφαρμοστεί στον πρακτικό υπολογισμό εξέλιξης ενός συστήματος βήμα-βήμα. |
19/5/23 | |
16η Διάλεξη 2ο Μέρος (15-5-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
19/5/23 | |
16η Διάλεξη 3ο Μέρος (15-5-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
19/5/23 | |
17η Διάλεξη 1ο Μέρος (18-5-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ο μετασχηματισμός Legendre μας μεταφέρει από τη Λαγκρανζιανή στη Χαμιλτονιανή και από τη Χαμιλτονιανή στη Λαγκρανζιανή. |
19/5/23 | |
17η Διάλεξη 2ο Μέρος (18-5-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
19/5/23 | |
17η Διάλεξη 3ο Μέρος (18-5-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
19/5/23 | |
18η Διάλεξη 1ο Μέρος (25-5-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Το εκκρεμές ως παράδειγμα μελέτης της κίνησης συστήματος στο χώρο των φάσεων. Οι κινήσεις εκτελούνται σε γραμμές σταθερής τιμής της \(H\) με φορά που υποδεικνύεται από τις εξισώσεις Χάμιλτον. Οι συμπεριφορά αυτών των γραμμών κοντά στο σημείο ισορροπίας, κοντά στα σημεία μηδενισμού της ορμής. Η διαχωρίζουσα ως το σύνορο μεταξύ αέναων περιστροφικών και ταλαντωτικών λύσεων. |
26/5/23 | |
18η Διάλεξη 2ο Μέρος (25-5-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
26/5/23 | |
18η Διάλεξη 3ο Μέρος (25-5-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
26/5/23 | |
19η Διάλεξη 1ο Μέρος (29-5-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Κίνηση σβούρας (αξονικά συμμετρικού σώματος) εκτός και εντός ομογενούς βαρυτικού πεδίου. Γωνίες Euler \(\psi,\theta,\phi\), διατηρούμενες ορμές, Χαμιλτονιανή, εξισώσεις Hamilton, αναγωγή σε μονοδιάστατο πρόβλημα σε δυναμικό \(V(\theta)\). Ισορροπία, μετάπτωση, κλυδωνισμός. |
29/5/23 | |
19η Διάλεξη 2ο Μέρος (29-5-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
29/5/23 | |
19η Διάλεξη 3ο Μέρος -συμπληρωματικό (29-5-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
29/5/23 | |
20η Διάλεξη 1ο Μέρος (1-6-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Κανονικοί μετασχηματισμοί που κατασκευάζονατι με μια υποθετική Χαμιλτονιανή, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν τη χρονική εξέλιξη ενός οποιουδήποτε Χαμιλτονιανού συστήματος. |
1/6/23 | |
20η Διάλεξη 2ο Μέρος (1-6-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
1/6/23 | |
20η Διάλεξη 3ο Μέρος (1-6-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
1/6/23 | |
21η Διάλεξη 1ο Μέρος (7-6-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ασκήσεις από όλες τις θεματικές ενότητες: Αρχή στάσιμης δράσης. Κατασκευή Λαγκρανζιανής και δεσμοί. Θεώρημα Noether. Φορτισμένα σωματίδια σε Η/Μ πεδίο. Κανονικοί τρόποι ταλάντωσης. Χαμιλτονιανές - αγκύλες Poisson - Κανονικοί μετασχηματισμοί. |
8/6/23 | |
21η Διάλεξη 2ο Μέρος (7-6-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
8/6/23 | |
21η Διάλεξη 3ο Μέρος (7-6-23) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
8/6/23 | |
ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΙΙ 2024 | ||
Σημειώσεις της Διάλεξης 1 (29-2-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
1/3/24 | |
Σημειώσεις της Διάλεξης 2 (04-3-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
4/3/24 | |
Σημειώσεις της Διάλεξης 3 (11-3-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
11/3/24 | |
Σημειώσεις της Διάλεξης 4 (12-3-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
12/3/24 | |
Σημειώσεις της Διάλεξης 5 (14-3-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
14/3/24 | |
01η Διάλεξη Μέρος Α (29-2-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Αρχή Ελάχιστης/Στάσιμης Δράσης |
1/3/24 | |
01η Διάλεξη Μέρος Β (29-2-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
1/3/24 | |
01η Διάλεξη Μέρος Γ (29-2-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
29/2/24 | |
02 Διάλεξη Μέρος Α (4-3-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Διερεύνηση της σχέσης της αρχής στάσιμης δράσης για τα μηχανικά συστήματα με το 2ο νόμο του Νεύτωνα. |
4/3/24 | |
02 Διάλεξη Μέρος Β (4-3-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
4/3/24 | |
03η Διάλεξη Α Μέρος (11-3-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
11/3/24 | |
03η Διάλεξη Β Μέρος (11-3-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
11/3/24 | |
04η Διάλεξη (1ο συμπληρωματικό) (12-3-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ερωτήσεις και Περιγραφή άσκησης περί διερεύνησης της αρχής του Hamilton |
12/3/24 | |
05η Διάλεξη Α Μέρος (14-3-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Συζήτηση επί των ασκήσεων. Ανάγκη εξάρτησης της \(L\) από την ταχύτητα, ως ανεξάρτητη συνάρτηση από τη θέση. Στασιμοποιήση δράσης για σύστημα με πολλούς βαθμούς ελευθερίας. Προβλήματ: σφαιρικό εκκρεμές, βραχυστόχρονο. |
14/3/24 | |
05η Διάλεξη Β Μέρος (14-3-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
14/3/24 | |
05η Διάλεξη Γ Μέρος (14-3-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
14/3/24 | |
06η Διάλεξη Α Μέρος 19-3-24 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
21/3/24 | |
06η Διάλεξη Β Μέρος 19-3-24 Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
21/3/24 | |
07η Διάλεξη Α Μέρος (21-3-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Λαγκρανζιανή ελευθέρου σωματιδίου με βάση την αρχή του Hamilton και τις συμμετρίες του Σύμπαντος. Επέκταση σε 2 ελεύθερα σωματίδια. Περαιτέρω επέκταση σε 2 αλληλεπιδρώντα σωματίδια. Γιατί πρέπει η Λαγκρανζιανή να εξαρτάται οπωσδήποτε από την ταχύτητα; Εξάρτηση της Λαγκρανζιανής από ανώτερες παραγώγους, από την ταχύτητα. Επαναδιατύπωση της αρχής του Hamilton. |
27/3/24 | |
07η Διάλεξη Β Μέρος (21-3-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
27/3/24 | |
07η Διάλεξη Γ Μέρος (21-3-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
27/3/24 | |
08η Διάλεξη Α Μέρος (2ο Συμπληρωματικό) (26-3-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ασκήσεις (του 1ου σετ) |
27/3/24 | |
08η Διάλεξη Β Μέρος (2ο Συμπληρωματικό) (26-3-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
27/3/24 | |
09η Διάλεξη Α Μέρος (28-3-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Οι έννοιες των γενικευμένων ορμών δυν΄μεων κι η "ανσύνθεση" του 2ου νόμου του Νεύτωνα σε γενικευμένη μορφή. Η ανεξαρτησία των μετασχηματισμών Euler-Lagrange από το είδος των συντεταγμένων που χρησιμοποιούνται. Το τρυκ του Landau για την κατασκευή μιας Λαγκρανζιανής και ειδικά της κινητικής ενέργειας σε νέες συντεταγμένες (η δυναμική ενέργεια απλοποιείται απλώς στις κατάλληλες συντεταγμένες). Παράδειγμα: Κατασκευή και ανάλυση των εξισώσεων κίνησης σωματιδίου σε σφαιρικό μπωλ. |
1/4/24 | |
09η Διάλεξη Β Μέρος (28-3-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
1/4/24 | |
09η Διάλεξη Γ Μέρος (28-3-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
1/4/24 | |
10η Διάλεξη Α Μέρος (1-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Κατασκευή της Λαγκρανζιανής φορτισμένου σωματιδίου σε αυθαίρετο Η/Μ πεδίο. Μοναδικότητα της Λαγκρανζιανής σε συνάρτηση της μοναδικότητας ή μη των πεδίων. Δίσκος του Feynman. |
1/4/24 | |
10η Διάλεξη Β Μέρος (1-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
1/4/24 | |
11η Διάλεξη (3ο Συμπληρωματικό) (2-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Περί του ανυσματικού δυναμικού και της μη μοναδικότητας αυτού. Αλληλεπιδρώντες Η/Μ δίσκοι-ρεύματα. |
4/4/24 | |
12η Διάλεξη Α Μέρος (4-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Δεσμοί. Φυσική και μη φυσική Λαγκρανζιανή. Πολλαπλασιαστές Lagrange. |
4/4/24 | |
12η Διάλεξη Β Μέρος (4-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
4/4/24 | |
12η Διάλεξη Γ Μέρος (4-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
4/4/24 | |
13η Διάλεξη Α Μέρος (8-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Περί μη ολόνομων δεσμών. |
9/4/24 | |
13η Διάλεξη Β Μέρος (8-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
9/4/24 | |
14η Διάλεξη Α Μέρος (4ο Συμπληρωματικό) (9-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Περί Λαγκρανζιανών για φυσικά συστήματα που παρουσιάζουν ανάλωση. |
10/4/24 | |
14η Διάλεξη Β Μέρος (4ο Συμπληρωματικό) (9-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος ...ολίγα λεπτά μόνο. |
10/4/24 | |
15η Διάλεξη Α Μέρος (11-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Περί του ορίσματος της δυναμικής ενέργειας μιας φυσικής αλληλεπίδρασης. |
17/4/24 | |
15η Διάλεξη Β Μέρος (11-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
17/4/24 | |
15η Διάλεξη Γ Μέρος (11-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
17/4/24 | |
16η Διάλεξη Α Μέρος (15-4-24) [Δεν υπάρχει Β μέρος] Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ολοκλήρωση κάποιων θεμάτων από προηγούμενες διαλέξεις. |
15/4/24 | |
17η Διάλεξη (6ο συμπληρωματικό) (16-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Αναλογία περιστρεφόμενου συστήματος + ελατήριο με φορτισμένο σωματίδιο σε μαγνητικό πεδίο. |
17/4/24 | |
18η Διάλεξη Α Μέρος (18-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Ταλαντωτής δύο σωμάτων. Ανάλυση της κίνησης. |
19/4/24 | |
18η Διάλεξη Β Μέρος (18-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
19/4/24 | |
18η Διάλεξη Γ Μέρος (18-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
19/4/24 | |
19η Διάλεξη Α Μέρος (22-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Γενική αντιμετώπιση μηχανικών συστημάτων με κατάσταση(εις) ισορροπίας. Πίνακας κινητικής και δυναμικής ενέργειας. Απαίτηση κατάστασης ισορροπίας. Νέες συντεταγμένες που μετράνε αποκλίσεις από την ισορροπία. Εξισώσεις κίνησης υπό μορφή πινάκων. Ανεύρεση λύσεων. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο. |
23/4/24 | |
19η Διάλεξη Β Μέρος (22-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
23/4/24 | |
20η Διάλεξη (7ο και τελευταίο Συμπληρωματικό) (23-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Παραδείγματα ανάλυσης συστημάτων σε κανονικούς τρόπους ταλάντωσης με χρήση πινάκων. |
29/4/24 | |
21η Διάλεξη Α Μέρος (25-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Συστηματική αντιμετώπιση συστήματος το οποίο διαθέτει μια κατάσταση ισορροπίας. Πραγματικότητα λύσεων χαρακτηριστικού πολυωνύμου (τετραγώνων των ιδιοσυχνοτήτων). Ορθογωνιοποίηση κανονικών τρόπων ταλάντωσης μέσω της μετρικής του πίνακα της κινητικής ενέργειας. Κανονικοποίηση των των τρόπων ταλάντωσης. Σπάσιμο της γραμμικοποιημένης Λαγκρανζιανής σε \(N\) (όσοι οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος) ανεξάρτητους μονοδιάστατους αρμονικούς ταλαντωτές. Εύρεση της γενικής λύσης με χρήση πινάκων για τις αρχικές συνθήκες. |
29/4/24 | |
21η Διάλεξη Β Μέρος (25-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
29/4/24 | |
21η Διάλεξη Γ Μέρος (25-4-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
29/4/24 | |
22η Διάλεξη Α Μέρος (13-5-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος Επανάληψη των βημάτων για τον υπολογισμό και τη χρήση των κανονικών τρόπων ταλάντωσης στην πρόβλεψη της κίνησης ενός σύνθετου συστήματος πέριξ της κατάστασης ισορροπίας του. Ανάλυση των ασταθειών. Σημασία των ασταθειών στην εξέλιξη ενός συστήματος. Πηλίκο Rayleigh και συσχέτιση με ιδιοσυχνότητες και κανονικούς τρόπους ταλάντωσης. |
15/5/24 | |
22η Διάλεξη Β Μέρος (13-5-24) Δημιουργός: Θεοχάρης Αποστολάτος |
15/5/24 |