Ανάλυση Ι και Εφαρμογές (10ΥΚΟ11)

Εισαγωγή¨Ο ρόλος ενός φυσικού στο μάθημα της Ανάλυσης.

Ασκήσεις στην επαγωγή: 

1) Απόδειξη ότι \(n^2 < 2^n\) για όλα τα \(n \geq 5\). Συζήτηση για όλα τα βήματα της επαγωγικής μεθόδου.

2) Κατασκευαστικός υπολογισμός του \(\sum_{k=1}^N k=N(N+1)/2\).

3) Κατασκευή της παραπάνω φόρμουλας με επίκληση της επαγωγικής μεθόδου και της απαίτησης να δουλεύει θεωρώντας ως "διαισθητικό" δεδομένο ότι \(\sum_{k=1}^N k=\) πολύωνυμο του \(N\) με ρητούς συντελεστές.

4) Αντίστοιχη κατασκευή του \(\sum_{k=1}^N k^2\).

5) Απόδειξη (αρχή) της ανισότητας Cauchy-Schwarz (βλ. 20-21 σημειώσεις Γιαννόπουλου σελ 33 ασκ. 10).

6) Διερεύνηση του λάθους χρήσης της επαγωγικής μεθόδου σχετικά με την πρόταση (που διατύπωσε ο Polya) "Σε κάθε παρέα \(N\) κοριτσιών, ένα εκ των οποίων είναι ξανθό, συνεπάγεται ότι όλη η παρέα αποτελείται από ξανθα κορίτσια. Για \(N=1\) η πρόταση είναι προφανής ("όλα" τα κορίτσια σε μια παρέα αποτελούμενη από 1 ξανθό κορίτσι είναι ξανθά) και είναι εύκολο να εξηγήσει απλά κανείς ότι αν ισχύει για \(N\) θα ισχύει αυτόματα και για \(N+1\).