Μαθηματικές Μέθοδοι Φυσικής Ι (10YKO15)

Γ. Μπαρμπάτης, Δ. Φραντζεσκάκης

Περιγραφή

Το μάθημα Μαθηματικές Μέθοδοι Φυσικής Ι είναι υποχρεωτικό μάθημα του 3ου εξαμήνου και διδάσκεται σε ένα ενιαίο τμήμα.

Το μάθημα, το τρέχον εξάμηνο (χειμερινό 2022-23) θα διδάσκεται κάθε 

  • Δευτέρα 12:00-14:00 και 
  • Τρίτη 13:00-16:00 

στο Αμφιθέατρο Θαλής, από τους καθηγητές

  • Γ. Μπαρμπάτη (Τμήμα Μαθηματικών) και
  • Δ. Φραντζεσκάκη (Τμήμα Φυσικής).

 

Το περιεχόμενο (syllabus) του μαθήματος είναι:

  • Μιγαδικοί αριθμοί. Στοιχειώδεις συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής.
    Πλειότιμες συναρτήσεις. Κλάδοι.
  • Συνέχεια. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης. Αναλυτικές συναρτήσεις και εξισώσεις
    Cauchy – Riemann. Αρμονικές συναρτήσεις.
  • Απεικονίσεις μέσω στοιχειωδών συναρτήσεων. Σύμμορφες απεικονίσεις και
    εφαρμογές στην φυσική.
  • Μιγαδικές δυναμοσειρές. Σειρές Taylor και Laurent. Ταξινόμηση των ανωμαλιών.
  • Θεώρημα Cauchy και θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων. Υπολογισμός
    ολοκληρωμάτων.
  • Μετασχηματισμός Fourier. Εφαρμογές στην επίλυση μερικών διαφορικών
    εξισώσεων. Η μέθοδος της στάσιμης φάσης.

 

Μαθηματικές Μέθοδοι Φυσικής Ι
 

Ώρες διδασκαλίας - αίθουσες

  • Δευτέρα 12:00-14:00, αμφιθέατρο Θαλής
  • Τρίτη 13:00-16:00, αμφιθέατρο Θαλής

 

Μαθησιακοί στόχοι

 

Στο μάθημα γίνεται η αυστηρή, συστηματική και εις βάθος ανάπτυξη της θεωρίας των μιγαδικών συναρτήσεων καθώς και εφαρμογών της σε προβλήματα Φυσικής.

 

Με την επιτυχή παρακολούθηση και ολοκλήρωση του μαθήματος ο φοιτητής είναι σε θέση να:

  • Να χειρίζεται στοιχειώδεις συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής, να μελετά βασικές ιδιότητές της, όπως την αναλυτικότητα και τα είδη των ανωμάλων σημείων της, και να  αναλύει μια μιγαδική συνάρτηση σε σειρά Taylor ή σε σειρά Laurent.
  • Να χειρίζεται απεικονίσεις μέσω στοιχειωδών μιγαδικών συναρτήσεων, και να χρησιμοποιεί την τεχνική των συμμόρφων απεικονίσεων για την επίλυση προβλημάτων φυσικής (λ.χ., στη δυναμική των ρευστών, στην ηλεκτροστατική και στη ροή θερμότητας).
  • Να υπολογίζει, μέσω παραμετροποίησης, ολοκληρώματα διαδρομής στο μιγαδικό επίπεδο, να υπολογίζει ολοκληρώματα σε βρόχους μέσω του θεωρήματος των ολοκληρωτικών υπολοίπων, και να χρησιμοποιεί τη μέθοδο ολοκληρωτικών υπολοίπων για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων πραγματικών συναρτήσεων.
  • Να υπολογίζει ολοκληρωτικούς μετασχηματισμούς (ευθύς και αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier) μιας συνάρτησης, και να χρησιμοποιεί ολοκληρωτικούς μετασχηματισμούς ια την επίλυση διαφορικών εξισώσεων της μαθηματικής φυσικής.
  • Να χρησιμοποιεί τη μέθοδο στάσιμης φάσης για τον υπολογισμό της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς ολοκληρωμάτων.

 

Ώρες γραφείου

 

ΓΜ: Δευτέρα 11:00-12:00, Τρίτη 12:00-13:00, γραφείο 221, Τμήμα Μαθηματικών

ΔΦ:  Δευτέρα 14:00-15:00, Τρίτη 10:00-11:00, γραφείο 18, κτίριο Φυσικής IV

 

Προτεινόμενη βιβλιογραφία

  • R. Churchill, J. Brown, Μιγαδικές Συναρτήσεις και Εφαρμογές (ΙΤΕ-Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2005). Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 226.
  • J. E. Marsden, J. M. Hoffman (μετάφραση: Λ. Παπαλουκάς), Βασική Μιγαδική Ανάλυση (Εκδόσεις Συμμετρία, 1994). Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 45469.
  • Σ. Μερκουράκης, Τ. Χατζηαφράτης, Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση (Εκδόσεις Συμμετρία, 2005). Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 45312.

 

Μέθοδοι αξιολόγησης
  • Τελική εξέταση 100%