Μαθηματικά Ι

καθηγ. Χρήστος Γ. Μασούρος

Περιγραφή

Στο μάθημα αυτό συμπυκνώνονται οι απαιτούμενες γνώσεις που πρέπει να έχει ο φοιτητής του Τμήματος ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ από τον Διαφορικό και Ολοκληρωτικό Λογισμό και την Γραμμική Άλγεβρα.  Σκοπός του είναι:

  • να αναλύσει τα βασικά εννοιολογικά στοιχεία του Διαφορικού και του Ολοκληρωτικού Λογισμού (συνέχεια και ασυνέχεια συναρτήσεων, παράγωγο, ορισμένο και αόριστο ολοκλήρωμα κλπ) και να διδάξει τις μεθοδολογίες του Απειροστικού Λογισμού στην επίλυση προβλημάτων (προσδιορισμό ακροτάτων, σημείων καμπής, υπολογισμού εμβαδών κλπ). Τα ανωτέρω συνδέονται με τα γνωστικά αντικείμενα του Τμήματος και τις κατευθύνσεις που αυτό έχει.
  • να εξοικειώσει τους φοιτητές με τις βασικές έννοιες της Γραμμικής Άλγεβρας (αλγεβρικός λογισμός πινάκων, γραμμικά συστήματα, διανυσματικοί χώροι) και τις εφαρμογές που έχουν στην ψηφιακή τεχνολογία, και στις  οικονομικές και διοικητικές επιστήμες.

 

Ενότητες

Εισαγωγή στη Θεωρία Συνόλων.

Καρτεσιανο Γινόμενο.

Απεικονίσεις.

Πεπερασμένα και Άπειρα Σύνολα.

Το σύνολο των πραγματικών και των μιγαδικών αριθμών. 

Η πληρότητα των πραγματικών αριθμών.

Αλγεβρικός Λογισμός στο σύνολο των πραγματικών και των μιγαδικών αριθμών.

Αλγεβρικές πράξεις μεταξύ πραγματικών συναρτήσεων.

Σύνθεση Συναρτήσεων.

Αντίστροφη Συνάρτηση.

Μονότονες συναρτήσεις.

Φραγμένες συναρτήσεις.

Άρτιες και περιττές συναρτήσεις.

Γραμμικές Συναρτήσεις.

Συναρτήσεις Δυνάμεων.

Πολυωνυμικές συναρτήσεις – Ρητές συναρτήσεις.

Αλγεβρικές  και υπερβατικές συναρτήσεις.

Περιοδικές Συναρτήσεις – Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις.

Υπερβολικές συναρτήσεις.

Αντίστροφες Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις.

Η έννοια του ορίου.

Όριο συνάρτησης.

Ιδιότητες των ορίων.

Μη πεπερασμένα όρια.

Οριζόντια ασύμπτωτη, κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Μέθοδοι υπολογισμού των ορίων

Ασυμπτωτικά  ισοδύναμες συναρτήσεις, πλάγιες ασύμπτωτοι.

Η έννοια της συνέχειας.

Ασυνέχεια συναρτήσεων.

Φυσικά, Τεχνολογικά και Οικονομικά μοντέλα που περιγράφονται από συνεχείς συναρτήσεις.

Φυσικά, Τεχνολογικά και Οικονομικά μοντέλα που περιγράφονται από μη συνεχείς συναρτήσεις.

Ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων.

Θεώρημα του Weierstrass.

Θεώρημα του Bolzano.

Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής.

Η έννοια της παραγώγου.

Ο ε-δ ορισμός της παραγώγου.

Κανόνες παραγώγισης.

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων – Τεχνικές παραγώγισης.

Το Θεώρημα του Fermat.

Το Θεώρημα του Darboux.

Το Θεώρημα του Rolle.

Το Θεώρημα Μέσης τιμής του Lagrange.

Το γενικευμένο Θεώρημα Μέσης τιμής του Cauchy.

Ο Κανόνας του de l’Hôpital.

Ο τύπος του Taylor.

Σειρές Taylor και Maclaurin.

Μελέτη συνάρτησης.

Χάραξη της καμπύλης μιας συνάρτησης.

Η ιστορική διαδρομή του Ολοκληρωτικού Λογισμού

Εποπτική ανάλυση της έννοιας του ολοκληρώματος

Ορισμός του ολοκληρώματος

Αθροίσματα Riemann

Ιδιότητες του ολοκληρώματος

Το πρώτο θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού

Το δεύτερο θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού

Η παραγώγιση και η ολοκλήρωση ως αντίστροφες διαδικασίες

Το γενικευμένο ολοκλήρωμα

Τύποι βασικών ολοκληρωμάτων

Ολοκλήρωση Αθροίσματος

Ολοκλήρωση κατά παράγοντες

Ολοκλήρωση με αντικατάσταση

Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων απλών κλασμάτων

Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων με ανάλυση σε απλά κλάσματα

Η μέθοδος του Heaviside

Ολοκλήρωση Αρρήτων Συναρτήσεων

Οι αντικαταστάσεις του Euler

Εφαρμογές του Απειροστικού Λογισμού,

  • στη Γεωμετρία
  • τη Φυσική
  • τις Τεχνολογικές Επιστήμες
  • την Οικονομία
  • την Διοίκηση

Γραμμικές Εξισώσεις

Γραμμικά Συστήματα

Παραδείγματα απαλοιφής Γκάους

Μια συμβολική γραφή των γραμμικών συστημάτων

Η μέθοδος της απαλοιφής με τον επαυξημένο πίνακα

Πίνακες

Βαθμωτός Πολλαπλασιασμός και Άθροισμα Πινάκων

Πολλαπλασιασμός Πινάκων

Ιδιότητες του Πολλαπλασιασμού των Πινάκων

Στοιχειώδεις Πίνακες και μια μέθοδος υπολογισμού του Αντιστρόφου Πίνακα

Ημερολόγιο