Μάθημα : Γραμμικοί Τελεστές (712)

Περιγραφή

Αντικείμενο του μαθήματος είναι η μελέτη των γραμμικών και συνεχών απεικονίσεων (:γραμμικών τελεστών) μεταξύ γραμμικών χώρων  που  είναι τα απειροδιάστατα ανάλογα των Ευκλείδειων χώρων (:χώρων Hilbert). Οι τελεστές αυτοί εμφανίζονται σε διαφόρων ειδών εφαρμογές, από τις Διαφορικές και τις Ολοκληρωτικές Εξισώσεις και την Ανάλυση Fourier μέχρι την μη-μεταθετική Γεωμετρία, την Κβαντομηχανική και, πρόσφατα, την λεγόμενη Quantum Information Theory.

 Επιδιώκουμε να "μετασχηματίσουμε" τέτοιους τελεστές σε απλούστερες μορφές, και ειδικότερα, να τους "διαγωνοποιήσουμε" ως προς  "βάσεις" (με την κατάλληλη έννοια) των χώρων όπου δρουν. Θα δούμε ότι αυτό δεν είναι πάντα εφικτό και θα μελετήσουμε κλάσεις τελεστών για τις οποίες η διαγωνοποίηση επιτυγχάνεται.

Περιεχόμενο. Ευκλείδειοι χώροι, εσωτερικά γινόμενα σε απειροδιάστατους χώρους. Πληρότητα, χώροι Hilbert: βασικές ιδιότητες. 

Φραγμένοι τελεστές: Παραδείγματα, ο συζυγής τελεστής, κατηγορίες τελεστών, ορθές προβολές.
Τελεστές πεπερασμένης τάξης, συμπαγείς τελεστές, ολοκληρωτικοί τελεστές. Διαγωνοποίηση τελεστών: το φασματικό θεώρημα για συμπαγείς φυσιολογικούς τελεστές. Εφαρμογές.

Προαπαιτούμενες γνώσεις: Απειροστικός Λογισμός, Γραμμική Άλγεβρα, (ολίγη) Πραγματική Ανάλυση. (Δεν προϋποτίθενται γνώσεις Συναρτησιακής Ανάλυσης ή Θεωρίας Μέτρου).

Διδάσκων:  Α. Κατάβολος, ηλ.ταχ. : akatavol@math.uoa.gr, ηλ.σελίδες:  http://users.uoa.gr/~akatavol/ και  http://scholar.uoa.gr/akatavol

Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα και Παρασκευή, 11:00-13:00, στην Αίθουσα Γ31

Ώρες για τους φοιτητές: Θα ανακοινωθούν

Βιβλιογραφία

1. Α. Κατάβολος, Εισαγωγή στην Θεωρία Τελεστών, Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα 2008 (διατίθεται η επικαιροποιημένη ανατύπωση του 2023)
2. Σ. Καρανάσιος, Θεωρία Τελεστών και Εφαρμογές, Αθήνα 2009.
3. I. Gohberg, S. Goldberg, Basic operator theory (Reprint of the 1981 original), Birkhauser Boston Inc., Boston, MA, 2001.
4. P.R. Halmos, Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity, Chelsea, N.Y., 1951.
5. P.R. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, 2nd Edition, Springer-Verlag, 1982.
6. M. Reed and B. Simon, Methods of modern mathematical physics I. Functional analysis. Second edition. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York, 1980.
7. N.J. Young, An Introduction to Hilbert Space, Cambridge University Press, 1988.
8. L. Debnath and P. Mikusinski, Introduction to Hilbert Spaces with Applications, 3rd Edition, ISBN-13: 978-0122084386, Elsevier Academic Press, 2005.