Μάθημα : Υπολογιστική Άλγεβρα

Πολυώνυμα πολλών μεταβλητών, ιδεώδη, ποικιλότητες (varieties). Επίλυση στους πραγματικούς. Κλασική (προβολική) και αραιή απαλοίφουσα. Κατασκευή πινάκων απαλοίφουσας (Sylvester, Macaulay, αραιής απαλοίφουσας). Μελέτη συστημάτων, καταμέτρηση ριζών (φράγμα Bezout και μικτός όγκος), επίλυση με μεθόδους γραμμικής άλγεβρας μέσω του πίνακα της απαλοίφουσας (resultant) ή με αναγωγή σε παραγοντοποίηση.  Επίλυση συστημάτων με ομοτοπία. Βάσεις Groebner, αλγόριθμος Buchberger, Groebner fans, tropical geometry. 

Θεωρητικές ή πρακτικές (π.χ. Maple) ασκήσεις. Εφαρμογές: Κινηματική των ρομπότ. Γράφοι αποστάσεων. Υπολογιστική γεωμετρία και Γεωμετρική σχεδίαση. 

Μέθοδος αξιολόγησης: σετ ασκήσεων με την ολοκλήρωση κάθε θεματικής ενότητας (50%), απαλλακτική εργασία στο τέλος του εξαμήνου (50%).

Η ύλη του μαθήματος αποτελείται από τα παρακάτω κεφάλαια των δυο βασικών συγγραμμάτων του μαθήματος: 

A. Ideals, Varieties, and Algorithms -- David A. Cox , John Little, Donal O’Shea (4th edition)

         - Πολυώνυμα μιας και πολλών μεταβλητών, ιδεώδη, ποικιλότητες (varieties): Κεφάλαιο 1, εκτός από τις παραγράφους 1 και 3.

        - Βάσεις Groebner, αλγόριθμος Buchberger: Κεφάλαιο 2, εκτός από τις παραγράφους 9 και 10.

        - Αντιστοιχία αλγεβρικών και γεωμετρικών εννοιών: Κεφάλαιο 4, μόνο οι παράγραφοι 1 και 2.

B. Using Algebraic Geometry -- David A. Cox , John Little, Donal O’Shea (2nd edition)

     - Απαλοίφουσα συστήματος σε μία μεταβλητή (Sylvester) και σε πολλές μεταβλητές (Macaulay) και επίλυση συστημάτων μέσω αυτών: Κεφάλαιο 3

     - Καταμέτρηση ριζών (φράγμα Bezout και μικτός όγκος), αραιή απαλοίφουσα και επίλυση συστημάτων μέσω αυτής: Κεφάλαιο 7

Αν επιτρέπει ο χρόνος, θα μελετηθούν η επίλυση συστημάτων με ομοτοπίες, τα  Groebner fans, και θέματα από τροπική γεωμετρία.