Γραμμική Άλγεβρα Ι Εαρινό 2023 (Τμήμα Κοντογεώργη)

Επίλυση ασκήσεων

Επίλυση ασκήσεων

Επίλυση Ασκήσεων

Επίλυση Ασκήσεων

Επίλυση Ασκήσεων

Επίλυση Ασκήσεων

• Ομοιότητα πινάκων και πίνακες αλλαγής βάσης
• Η ορίζουσα γραμμικών απεικονίσεων.
• Το γραμμικό σύστημα \(Ax=b\) και οι λύσεις του

Σημειώσεις 5 Μαϊου 2023

• Ορισμός του rank  \(r(A)\) ενός \(n \times m\) πίνακα
• Η ιδιότητα \(r(A) =r(A^t) \)
• Οι σχέση \(r (AB) \leq \mathrm{min}(r(A),r(B))\)
• Η ιδιότητα \( \mathrm{det} (AB) =\mathrm{det}(A)\cdot \mathrm{det}(B)\)

Σημειώσεις 3 Μαϊου 2023

• Σχέση πινάκων γραμμικής συνάρτησης \(f: V \rightarrow W\) ως προς δύο βάσεις \(b,B\)  του \(V\) και \(b',B'\) του \(W\). Απόδειξη του \(.   (1_W, b',B' ) (f, B,B') (1_V,b,B) \).
• Ισοδύναμοι πίνακες.
• Μέθοδος εύρεσης αντιστρεψίμων πινακών \(P,Q\), ώστε \( P A Q=  \left( \begin{array}{cc}  \mathbb{I}_r & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \), όπου \(r=\mathrm{dim Im}(f) \).
• Παραδείγματα.

Σημειώσεις μαθήματος 28 Απριλίου 2023

• Ο πίνακας αλλαγής βάσης \( (1_V,B,B')\) σε ένα διανυσματικό χώρο με δύο βάσεις \(Β,Β'\) και η ιδιότητα μετασχηματισμού συντεταγμένων \([v]_{B'} =(1_V,B,B') [v]_{B}\).
• Η ιδιότητα \( (1_V,B,B')=(1_V,B',B)^{-1} \). 
• Αν μια γραμμική συνάρτηση \(f:V \rightarrow W\)  είναι αντιστρέψιμη τότε  \( (f,B,B') \) είναι αντιστρέψιμος πίνακας για κάθε επιλογή βάσεων \(Β,Β'\) των \(V,W\) αντίστοιχα. Αντιστρόφως αρκεί να είναι αντιστρέψιμος ο  \( (f,B,B') \) για μια συγκεκριμένη επιλογή βάσεων \(B,B'\) για να ε