Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας (10ΥΚΟ35)

Το βίντεο θα αναρτηθεί στο youtube κανάλι
https://www.youtube.com/channel/UCbJ6C_BizLEOC7eAFKu3AEg

Σημειώσεις. Το video θα μπορείτε να το βρείτε στο youtube κανάλι https://www.youtube.com/channel/UCbJ6C_BizLEOC7eAFKu3AEg

Παγκοσμιότητα της ταχύτητας του φωτός. Πείραμα των Michelson-Morley.

Δυσλειτουργίες τοων θεωριών. Επανακατασκευή ενός αδρανειακού συστήματος ικανού να αποδίδει σωστά τις θέσεις και τους χρόνους των γεγονότων. Συγχρονισμός ρολογιών εντός αδρανειακού συστήματος.

Παράδοξα στη σχετικότητα. (1) Παράδοξο διδύμων. (2) Παράδοξο του γκαράζ...

(2) Ανάλυση του παραδόξου του γκαράζ. (3) Οπτικά φαινόμενα στη σχετικότητα. Ορισμός/ιδιότητες/νόημα της τετραταχύτητας.

Τετραταχύτητα: γραφή, ερμηνεία, γεωμετρική αναπαράσταση, μετασχηματισμοί αυτής.

Υπόλοιπο συζήτησης περί κοσμικών γραμμών ελευθέρων σωματιδίων που ανταλλάσουν φωτόνια.

4-επιτάχυνση, ορθογωνιότητα στην τετραταχύτητα.

Άσκηση: Πως αλλάζουν οι χρόνοι άφιξης φωτενούς σήματος σε σχέση με τους χρόνους εκπομπής αυτών για δύο σωματίδια που κινούνται με διαφορετικές ταχύτητας και το ένα (1) εκπέμπει και το άλλο (2) λαμβάνει.

Άσκηση: Ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση δίδυμου αστροναύτη για την περιγραφή της απομάκρυνσης - επιστροφής αυτού. Κόλλημα κατάλληλο των επιταχυνόμενων κοσμικών γραμμών.

Λεπτομέρειες της κοσμικής γραμμής ομαλά επιταχυνόμενου (με σταθερό μέτρο 4-επιτάχυνσης) αστροναύτη. 1 g σε μονάδες c=1. Τετραεπιτάχυνση μέσω υπερβολικών συνημιτόνων και ημιτόνων.

Παράδοξο μη αντιστοίχισης των συνιστωσών της 4-επιτάχυνσης όταν v=0 και μέσω μετασχηματισμού Lorentz στο συγκινούμενο σύστημα που θα γίνει v'=0. Η ανάλυση παρουσιάστηκε αρκετά μπερδεμένα. Θα ακολουθήσει κείμενο με λεπτομερή ανάλυση της άρσης του παραδόξου. Αύτο που άρχισα να κάνω στο τέλος θα επαναληφθεί στην επόμενη διάλεξη εξ αρχής.

Ανάλυση του παραδόξου διαφορετικότητας των 4-επιταχύνσεων.

(1) Ορίζοντας γεγονότων για επιταχυνόμενο σωματίδιο. (2) Ομαλή κυκλική κίνηση ως παράδειγμα τροχιάς με σταθερό μέτρο 4-επιτάχυνσης. (3) Πρόβλημα Γ από Διαγώνισμα 9/18 (έγγραφα). Στο τελικό σημείο αρκούσε να αντικαταστήσει κανείς \( x=\frac{1}{a} [\cosh(a(\tau_0+\Delta)-\cosh(a \tau_0)]=\frac{1}{a}(\Gamma-\gamma_0)\) και \( t=\frac{1}{a} [\sinh(a(\tau_0+\Delta)-\sinh(a \tau_0)]=\frac{1}{a}(\Gamma V-\gamma_0 v_0)\). Στη συνέχεια τα διαιρεί κανείς κατά μέλη.

Ορισμός της τετραορμής, αναπαρπάσταση αυτής, ιδιότητες.

Σχετικιστικές αντιδράσεις. Σύστημα Κέντρου Ορμής.

Ασκήσεις: (1) Κατασκευή του μετασχηματισμού Lorentz. (2) Χρήση υπερβολικών γωνιών για την περιγραφή του μετασχηματισμού Lorentz.

Συστήματα συντεταγμένων, καταμέτρηση χωροχρονικών συντεταγμένων γεγονότων, καλές μονάδες χώρου-χρόνου όπου \(c=1\). Τα παράδοξα που προκύπτουν από τη σταθερότητα του φωτός. Αμφισβήτηση του ταυτοχρόνου σε όλα τα συστήματα αναφοράς.

Παραδείγματα ασυμβατότητας των μετασχηματισμών Lorentz με την καθημερινή μας εμπειρία. Η περιοχή στο χώρο \(x - v\) που οι μετασχηματισμοί LOrentz διαφοροποιούνται ριζικά από τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου.

Γραφική απεικόνιση των μετασχηματισμών Γαλιλαίου και Lorentz. Ομοιότητες διαφορές. Επισήμανση της συμμετρίας των μετασχηματισμών Lorentz. Τυποποιημένος μετασχηματισμός Lorentz (συμπλήρωση με τις άλλες χωρικές συντεταγμένες¨γιατί πρέπει αυτές να μένουν ίδιες). Άρση του κλασσικού σεταρίσματος και τι σημαίνει. Επιπτώσεις τις άρσης αυτής στη γραφή των μετασχηματισμών και επανάκτηση της αρχικής γραφής (ακόμη και με "κακό" σετάρισμα) των μετασχηματισμών αν πρόκειται για χωροχρονικές διαφορές δύο γεγονότων.

Ασκήσεις (1) Γραφική αναπαράσταση μετασχηματισμών Lorentz, και υπολογισμός της αλλαγής κλίμακας. (2) Άσκηση του Rindler περί απεικόνισης των μετασχηματισμών Lorentz από ορθογώνιο σύστημα αξόνων \(x,t\)
σε ορθογώνιο σύστημα \(x',t΄\). Κίνηση σε κατάλληλη υπερβολή ανάλογα με την επιλογή του αρχικού σημείου.

Χωρόχρονος Minkowski, μέτρο Minkowski, ψευδοευκλείδειο μέτρο, τετρανύσματα και γραφή αυτών, δείκτες και σύμβαση Einstein.

Συμπλήρωμα άσκησης. Γραφή τετρανυσμάτων (πάνω-κάτω δείκτες, ανταλλοίωτα-συναλλοίωτα τετρανύσματα).
Εσωτερικό γινόμενο (κατά Minkowski) τετρανυσμάτων. Η έννοια της μετρικής.

Το αναλλοίωτο του εσωτερικού γινομένου σε μετασηματισμούς Lorentz. Τετράγωνα μέτρων τετρανυσμάτων. Είδη (και παραδείγματα) τετρανυσμάτων: χρονο-, φωτο-, χωρο-ειδή. Ο κώνος του φωτός.

Πράξεις μεταξύ τετρανυσμάτων διαφορετικού τύπου.

Ασκήσεις: Δύο η περισσότεροι διαδοχικοί μετασχηματισμού Lorentz ("πρόσθεση" ταχυτήτων σχετικιστικά). Επανάληψη πράξεων με υπερβολικούς τριγωνομετρικούς αριθμούς rapidities (σβελτάδων).

Η μετρική και η ταυτότητα που πρέπει να ικανοποιεί ένας γραμμικός μετασχηματισμός (Lorentz) ώστε να διατηρεί το χωροχρονικό μήκος.

Είδη μετασχηματισμών Lorentz (ταυτότητα, στροφές, προωθήσεις, κατοπτρισμοί). Η "αλλαγές" στα χωροχρονικά τετρανύσματα που προκαλούν οι μετασχηματισμοί Lorentz.

Γενικοί μετασχηματισμοί προώθησης. Αναφορά στο φαινόμενο "μετάπτωσης Thomas" δλδ στροφών που προκαλούνται από διαδοχικούς μετασχηματισμούς προώθησης. Διαστολή χρόνου.

Κατηγοριοποίηση μετασχηματισμών Lorentz σε προωθήσεις, στροφές, κατοπτρισμούς και τα αποτελέσματα αυτών στα τετρανύσματα. Διαδοχικοί μετασχηματισμοί Lorentz.

Συζήτηση περί διαστολής χρόνου. Ασκήσεις (1) Περί της απεικόνισης των μετασχηματισμών προώθησης Lorentz με κατάλληλα πλαγιογώνια συστήματα και η αλλαγή κλίμακας. (2) Διαδοχικοί μετασχηματισμοί προώθησης σε "κύκλο"...

...Υπολογισμός του συνολικού μετασχηματισμού Lorentz και προσέγγιση του αποτελέσματος για μικρά \(v\).
Το τελικό αποτέλεσμα είναι μια καθαρή μικρή (τάξης \(v^2\) ) στροφή του επιπέδου \(x-y\). Ο όρος \(v^2\) που εμφανίστηκε στην 1η γραμμή είναι λάθος (βλ. παρακάτω 1*). (3) "Κίνηση" μιας φωτεινής κηλίδας (βλ. παρακάτω για περαιτέρω ανάλυση 2*). (4) Διαδοχικοί πολλοί μετασχ. Γαλιαλαίου. Στο όριο \(N \to \infty\) με \(v<<1\) και \(v N=v_0>1\) λαμβάνουμε την ταχύτητα \(V=\tanh v_0\) για τον συνολικό μετασχηματισμό. (3*)

1*. Στο 0:58 γίνεται λάθος και θα έπρεπε να γράφει \(-\gamma^2 v + \gamma v - \gamma v^{\bf 3}\). Έτσι κρατώντας μέχρι όρους τάξης \(v^2\) η παραπάνω έκφραση είναι \(\gamma v (\gamma-1) = O(v^3) \simeq 0\).
Επομένως ο όρος αυτός μηδενίζεται και δεν θα έπρεπε να υπάρχει και στον τελικό πίνακα στο 9:06. Αυτό που απομένει είναι πίνακας καθαρής χωρικής στροφής.

2* Η έκφραση η τελική \( v=L \omega/[1+(L \omega/v) (\phi/2)]\) (βλ. 33:09) μπορεί να γίνει μεγαλύτερη της μονάδας, \(c\), για \(L\) αρκετά μεγάλο ώστε \(L \omega >1\) με την προυπόθεση ότι η \(\phi\) είναι αρκούντως μικρή, δλδ. \(\phi<<v/(L \omega)<<1\) ώστε ο όρος που προστίθεται στη μονάδα του παρονομαστή να είναι αρκετά μικρή. Στην περίπτωση που τα βελάκια γίνονται φωτόνια \(v=1\), αρκεί \(L\omega>1\) και \(\phi\) απλώς μια μικρή γωνία.

3* Κάντε τις πράξεις.

Άσκηση: Κοσμικές γραμμές σε παραμετρική μορφή και σχετική κίνηση.