
\documentclass[greek,oneside,a4paper,11pt]{amsbook}
\usepackage{enumitem}%παραμετροι enumerate
\usepackage{fullpage}%μικρα περιθωρια
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{tcolorbox,xcolor}%πλαισια και χρωματα
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{babel}%ελληνικα
\usepackage{alphabeta}%ελληνικοι χαρακτηρες σε μαθ pdf utf-8
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[unicode]{hyperref}%links
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{pgfplots}%διαγραμματα
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%συντομευσεις%%%%%%%%%%
\newcommand {\lt}{\latintext}%αγγλικο κειμενο
\newcommand {\tl}{\textlatin}%αγγλικο κειμενο
%%%%%%%%%αριθμηση%%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\labelenumi}{{\rm(\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\roman{enumii}) }
%%%%%%%%%%%% New theorems %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%συντομευσεις%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Co}{\mathbb{C}}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\bma}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\ema}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\spa}{\mathrm{span}}
\newcommand{\Ho}{\mathrm{Hom}}
\numberwithin{section}{chapter}
\numberwithin{equation}{chapter}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Document starts %%%%%%%%%%%%
\begin{document}
	
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%γλωσσα%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	\selectlanguage{greek}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start Roman numbering %%%%
	\pagenumbering{arabic}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	
	
	
	\begin{tcolorbox}\begin{center}
			\large{Συμμετρίες και Αναπαραστάσες Ι\\ Εργασία 2, μέχρι 1/06/2025}
	\end{center}\end{tcolorbox}
	\vspace{0.5cm}
	\begin{enumerate}
		\item[Ον/νο :] 
		\item[AM :]
		\item[Ημ/ία :]
	\end{enumerate}
	\vspace{0.3cm}
	\textbf{Ύλη} Πρόχειρες σημειώσεις στην \tl{eclass} Κεφ. 1 - 9. Από το βιβλίο \cite{JL} Κεφ. 3 - 16.
	\vspace{0.3cm}
	
	Στα παρακάτω $G$ είναι πεπερασμένη ομάδα.
	\begin{enumerate}[leftmargin=*]
			\item (Πίνακας χαρακτήρων της $S_4$) Δίνεται το ακόλουθο τμήμα του πίνακα χαρακτήρων της $S_4$.
				\begin{center}
				\begin{tabular}{ c|c c c c c} 
					
					$g_i$ & 1 &  (12) & (123) & (12)(34) & (1234)\\ 
					$|C(g_i)|$& 24 & 4 & 3 &8 &4 \\ \hline
					$χ_1$ & 1& 1 & 1 &1&1 \\ 
					$χ_2$ & 1 & -1 & 1&1 &-1 \\
					$χ_3$ &2&0&-1 &2 &0 \\
					$χ_4$  \\
					$χ_5$ 
				\end{tabular}
			\end{center}
	Βρείτε τον πίνακα χαρακτήρων ως εξής. \begin{enumerate} \item Είδαμε στο Παράδειγμα 7.3(4)  ότι ο τύπος $χ(σ) = |fix(σ)|-1$ ορίζει χαρακτήρα της $S_4$. Υπολογίστε τον και δείξτε ότι είναι ανάγωγος χαρακτήρας. \item Θέτοντας $χ_4  = χ$, προσδιορίστε την τελευταία γραμμή με τη σχέσεις ορθογωνιότητας.
		\end{enumerate}
	\item Δείξτε 'οτι η ομάδα $S_3 \times S_3$ έχει μοναδικό ανάγωγο χαρακτήρα βαθμού 4. Έστω $V$ το αντίστοιχο πρότυπο. Αληθεύει ότι το $V\otimes V$ περιέχει $\Co G$-υποπρότυπο ισόμορφο με το $V$? Αληθεύει ότι $(V \otimes V)^{G} = V^{G} \otimes V^{G}$;
			
	\item Δείξτε ότι μια ομάδα $G$ είναι αβελιανή αν και μόνο αν κάθε ανάγωγη αναπαράσταση της $G$ έχει βαθμό 1.
	
	\item Έστω $H$ αβελιανή υποομάδα της $G$. Κάθε ανάγωγος χαρακτήρας της $G$ έχει  βαθμό $\le [G:H]$.
	\item Έστω $χ$ χαρακτήρας της $G$ με $χ(g)=0$ για κάθε $g \in G-\{1\}$. Τότε $χ=mχ_{reg}$ για κάποιο μη αρνητικό ακέραιο $m$, όπου $χ_{reg}$ είναι ο χαρακτήρας του κανονικού προτύπου $G$.
	
	\item Έστω $ρ: G \to GL_n(\Co)$ ανάγωγη αναπαράσταση με χαρακτήρα $χ$. Δείξτε τα εξής. \begin{enumerate} \item Για κάθε $g \in Z(G)$, υπάρχει $λ_g \in \Co$ τέτοιο ώστε $ρ(g)=λ_g I_n$. \item Για κάθε $g \in Z(G)$, $|χ(g)|=n$.  \item $n^2 \le [G:Z(G)]$.\end{enumerate}
	
	\item (Άσκηση  10.M.15 του \cite{Ar})Έστω $ρ :G \to GL_2( \mathbb{C} )$ αναπαράσταση βαθμού 2 τέτοια ώστε το 1 είναι ιδιοτιμή του $ρ(g)$ για κάθε $g \in G$. Δείξτε ότι η $ρ$ είναι το ευθύ άθροισμα δύο αναπαραστάσεων βαθμού 1.
	\item Δείξτε ότι το πρότυπο μετάθεσης της $S_n$ είναι ευθύ άθροισμα δύο αναγώγων προτύπων αν $n \ge 2$.
	
		\end{enumerate}

\begin{thebibliography}{99}
	\bibitem{Al} \tl{Alperin, \textit{Groups and Representations}, Springer, 1995.}
	\bibitem{Ar}\tl{Artin, \textit{Algebra}, Pearson, 2010.}
	\bibitem{JL} \tl{James and Liebeck, \textit{Representations and characters of groups}, 2nd edition, Cambridge 2001.}
	\bibitem{St} \tl{Steinberg, \textit{Representation Theory of Finite Groups}, Springer 2012.}
\end{thebibliography}
	\vspace{0.5cm}
\textbf{Σχετικά με τις εργασίες}
\begin{itemize}
\item Οι εργασίες είναι ατομικές. Μπορείτε να συνεργαστείτε, αρκεί να υπάρχει σχετική μνεία, πχ
στην εργασία 1, πρόβλημα 4, συνεργάστηκα με την τάδε και το δείνα. Ενθαρρύνω συνεργασίες
σε λογικά πλαίσια, αλλά μη μου παραδώσετε \tl{copy paste} εργασίες, θα μηδενιστούν.
\item Μπορείτε να αναρτήσετε τις εργασίες στην \tl{eclass} ως αρχείο \tl{pdf}. Μην τις στείλετε με \tl{email}.
\item Στο \tl{internet} υπάρχουν πολλές λύσεις ασκήσεων. \textcolor{red}{Προσοχή}. Το νόημα των εργασιών είναι να μαθαίνουμε. Αναμένω αυτό που θα παρουσιάσετε
γραπτώς να είναι με δική σας ανάπτυξη και να έχετε πλήρη κατανόηση των επιχειρημάτων και
υπολογισμών. Αυτά πρέπει να αναγράφονται αναλυτικά.
\item Πρέπει να αναγράφονται όλες οι εκφωνήσεις. Άσκηση 1, Λύση, Άσκηση 2, Λύση κλπ.
\item Μπορούμε να συζητάμε εργασίες στην τάξη πριν την προθεσμία και οι σχετικές ερωτήσεις είναι, όπως πάντα, ευπρόσδεκτες.
\item Εργασία σε \tl{Latex} θα φτιάξει τη διάθεση κάθε στρυφνού διορθωτή :) Στην \tl{eclass} θα αναρτηθεί
το \tl{tex} αρχείο της Εργασίας 1 και μια εισαγωγή στη \tl{latex} γραμμένη από φοιτητές. Πολλοί
βρίσκουν βοηθητικό το \tl{https://www.overleaf.com/}


\end{itemize}


\end{document}