Πιθανότητες ΙΙ

Περίγραμμα

Περιγραφή μαθήματος



Σε αυτό το μάθημα γίνεται μία εισαγωγή στην αξιωματική θεμελίωση των Πιθανοτήτων σε "μοντέρνα" μορφή, μετεξέλιξη της αρχικής θεμελίωσης του Andrey Kolmogorov (1933) [Kolmogorov]. Η πρώτη έκδοση ήταν στα γερμανικά. Για τη δεύτερη έκδοση στα αγγλικά (Foundations of Probability Theory, 1956), δείτε εδώ [Θεμέλια της Θεωρίας Πιθανοτήτων].

Τυπικά, η θεωρία των Πιθανοτήτων είναι ένας ιδιαίτερος κλάδος της θεωρίας μέτρου (που θέτει τα θεμέλια της μοντέρνας ανάλυσης), αλλά δεν περιορίζεται εκεί. Χρησιμοποιεί τη γλώσσα και τα εργαλεία της θεωρίας μέτρου εμπλουτισμένα με ορολογία (ενδεχόμενα, τυχαίες μεταβλητές,...) και με διαισθήσεις που είναι χαρακτηριστικές της στοχαστικής φύσης των προβλημάτων που καλείται να επιλύσει. Έτσι η θεωρία των Πιθανοτήτων έχει σημαντικά βοηθήσει την ανάπτυξη της θεωρίας μέτρου και θεωρητικά (θέτοντας καινούριες προκλήσεις), αλλά και δίνοντάς της ένα συγκεκριμένο και διαισθητικό περιεχόμενο. 

Τα προαπαιτούμενα είναι οπωσδήποτε Πιθανότητες Ι και στοιχειώδεις γνώσεις μαθηματικής ανάλυσης που αποκτώνται μέσα απο τα μαθήματα των διαφόρων Απειροστικών και της Πραγματικής Ανάλυσης. Θεωρία μέτρου δεν προαπαιτείται, αφού στο βαθμό που είναι χρονικά εφικτό θα εξηγούνται οι έννοιες που υπεισέρχονται, χωρίς όμως σε πολλά σημεία να μπαίνουμε σε λεπτομέρειες τεχνικών αποδείξεων που είναι χαρακτηριστικές της θεωρίας μέτρου. Ο φοιτητής που θέλει να εμβαθύνει στη θεωρία μέτρου παραπέμπεται στο εξαιρετικό βιβλίο των Κουμουλλή και Νεγρεπόντη [Θεωρία Μέτρου, εκδόσεις Συμμετρία (2005), εδώ]. Μπορείτε επίσης να συμβουλευτείτε τις  σημειώσεις θεωρίας Μέτρου (αγγλικά) του πολυβραβευμένου μαθηματικoύ Terence Tao.

Το πρώτο μέρος του μαθήματος είναι αφιερωμένο σε μία εισαγωγή στη θεωρία μέτρου. Ορίζονται οι σ-άλγεβρες και άλλες κατάλληλες οικογένειες υποσυνόλων (άλγεβρες, Dynkin,...) σε αυθαίρετους χώρους, αλλά και σε χώρους με ιδιαίτερη δομή (μετρικοί, τοπολογικοί). Οι δομές αυτές παίζουν κεντρικό ρόλο στην κατασκευή των μέτρων, συνολοσυναρτήσεων με πεδίο ορισμού τις σ-άλγεβρες, ειδική περίπτωση των οποίων είναι τα μέτρα πιθανοτήτας (οι συνολοσυναρτήσεις που μας απασχολούν στις Πιθανότητες Ι), αλλά και το μέτρο Lebesgue σε Ευκλείδιους χώρους που μοντελοποιεί την έννοια του μήκους, του εμβαδού και του όγκου σε κατάλληλα υποσύνολα  διάστασης 1, 2 και 3 αντίστοιχα. Μπορούμε να αντιληφθούμε το μέτρο ενός συνόλου, ως το άθροισμα των μέτρων των μερών του? Μπορούμε να περιορίσουμε τη γνώση των τιμών του μέτρου σε πιο μικρές οικογένειες υποσυνόλων με τρόπο τέτοιο ώστε να καθορίζεται πλήρως σε αυτές? Τί εφαρμογές έχει αυτό στις Πιθανότητες και στο χαρακτηρισμό των διακριτών και συνεχών κατανομών που χρησιμοποιούμε στις Πιθανότητες? Θα επιχειρήσουμε να δώσουμε απαντήσεις σε αυτά τα ερωτήματα και θα μιλήσουμε για μετρήσιμες συναρτήσεις και την αντιστοιχία τους με τις τυχαίες μεταβλητές, το ολοκλήρωμα Lebesgue, και τη σύνδεσή του με τη μέση τιμή τυχαίας μεταβλητής, τα θεωρήματα μονότονης και κυριαρχημένης σύγκλισης και τις εφαρμογές τους στις Πιθανότητες, όπως και κάποια άλλα στοιχειώδη αποτελέσματα της θεωρίας μέτρου.

Στο δεύτερο μέρος μελετώνται έννοιες όπως η κατανομή τυχαίων μεταβλητών (επαγόμενα μέτρα πιθανότητας), τα μέτρα γινόμενο και η αντιστοιχία τους με τις ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, οι κυριότεροι τρόποι σύγκλισης ακολουθίας τυχαίων μεταβλητών (με πιθανότητα 1 (σχεδόν βέβαιη), κατά πιθανότητα, κατά Lp, κατά κατανομή) και αποδεικνύονται σημαντικά οριακά θεωρήματα που διατυπώθηκαν χωρίς πλήρη απόδειξη, όπως ο ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών και το κεντρικό οριακό θεώρημα. Στην πορεία αυτή μελετώνται και πολύ χρήσιμα εργαλεία, όπως οι χαρακτηριστικές συναρτήσεις (μετασχηματισμοί Fourier των μέτρων πιθανότητας), αλλά αποδεικνύονται και θεωρήματα με πολλές εφαρμογές, όπως το θεώρημα Συνεχούς απεικόνισης, το θεώρημα Slutsky, και η μέθοδος Δέλτα.

Τον κορμό των παραδόσεων συνιστούν οι Σημειώσεις του Δ. Χελιώτη (βλ. έγγραφα). Επιπλέον βιβλιογραφία θα δωθεί σύντομα, αλλά και στην πορεία του μαθήματος...