Ανακοινώσεις μαθήματος Πιθανότητες Ι (Τμήμα Τρέβεζα)

παιχνίδι με μαγικά τετράγωνα

Sat, 29 Jul 2023 12:15:55 +0300

Και κάτι από magic..

Όλοι ξέρετε τα μαγικά τετράγωνα. Η απλούστερη εκδοχή

2 9 4

7 5 3

6 1 8

Αθροίζουν κατά γραμμές, στήλες και διαγωνίους σε κοινό άθροισμα

Επεκτείνονται και για οποιοδήποτε n, με n > 3

Μπορείτε να βρείτε με την πολλαπλασιαστή αρχή της συνδιαστικής πόσα είναι αυτά για n = 3 (και αριθμούς 1,...,9) ?

Επεκτείνεται αν δε βαριέστε..

Όμως πάμε σε κάτι καλύτερο.

Φτιάξτε πολλαπλασιαστικό τετράγωνα που το γινόμενο σε κάθε γραμμή, στήλη και διαγώνιο να είναι ίδιο.

ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ: ΔΕΝ ΕΠΙΤΡΕΠΕΤΑΙ ΝΑ ΕΠΑΝΑΛΑΒΕΤΕ ΚΑΠΟΙΟΝ ΑΡΙΘΜΟ, ΚΑΙ ΟΛΟΙ >= 1 (φυσικοί)

Για να είμαστε δίκαιοι, αν θέλετε μπορείτε να βάλετε >= 2, για να εξαιρεθεί το ουδέτερο στοιχείο (αλλά όχι απαραίτητα)

Ποιό είναι το μικρότερο γινόμενο που μπορείτε να βρείτε ? Εδώ είναι πιο ενδιαφέρον το challenge..

Μπορείτε να βάλετε και άλλα ερωτήματα.. Αν κ το γινόμενο, τότε τί τιμές μπορεί να πάρει [κριτήριο] ?

Πόσα μαγικά τετράγωνα 3 x 3 σταθερού γινομένου, ...

Προκλήσεις..

Sat, 29 Jul 2023 11:49:04 +0300

Καλημέρα!

Για αυτούς που τελείωσαν οι διακοπές τους :(( ή θέλουν challenge για διακοπές :D

1) Υποθέτουμε ότι έχουμε δυνατότητα κατασκευής 3 ζαριών (τα Α,Β,Γ με 6 έδρες) που το καθένα μπορεί να έχει στις έδρες του τους αριθμούς από {1,...,6} με δυνατότητα επανάληψης, π.χ. 2 δυνατά ζάρια [1,1,3,3,3,6] [2,2,2,4,5,6]

Το ζάρι Β "κερδίζει" το Α αν Pr(Y > X) > Pr(X > Y), όπου Χ, Υ οι τυχ. μεταβλητές που εκφράζουν το αποτέλεσμα ρίψης των ζαριών Α και Β αντίστοιχα. Στο παράδειγμα που δόθηκε αν Α=[1,1,3,3,3,6], Β= [2,2,2,4,5,6],

τότε {Υ > Χ} έχει 6 + 6 + 3 + 3 + 3 = 21 στοιχειώδη ενδεχ. και {Χ > Υ} έχει 14 στοιχ. ενδεχ. (και 1 περίπτωση ισότητας)

άρα Pr(Y>X) = 21/36 > 14/36 = Pr(X>Y) και άρα το Β κερδίζει το Α ή γράφουμε Α < Β.

Challenges: Α) Φτιάξτε 3 ζάρια όπου Α < Β, Β < Γ, αλλά Γ < Α [δεν έχουμε μεταβατικότητα :(( ]

B) Αν υποθετικά ζάρια A, B, Γ έχουν n έδρες με δυνατές ενδείξεις από {1,2,...,n}

π.χ. με 3 έδρες, [1,1,1], [1,1,2],[1,1,3], κτλ.. βρείτε το ελάχιστο n για το οποίο υπάρχουν Α,Β,Γ με

Α < Β, Β< Γ και Γ<Α

Γ) Αν "παίκτες" κάθονταν σε ένα τραπέζι κυκλικό, τότε θα ήταν όλοι χαρούμενοι να "κέρδιζαν" τον έναν

από τους 2 διπλανούς τους με κατάλληλη επιλογή ζαριού.

Μόλις φτιάξαμε παραπάνω κυκλικά τραπέζια με 3 παίκτες που όλοι είναι χαρούμενοι.

Μπορείτε να επεκτείνεται το τραπέζι και με άλλους παίκτες, π.χ. Α < Β < Γ < Δ < Α (κύκλος μήκους κ=4)

Πόσο μεγάλο μπορείτε να κάνετε τον κύκλο ? [πάρτε το n που σας αρέσει]

2) Θα σας φαινόταν ίσως εύκολο ή αδιανόητο να συμπεράνουμε ότι

αν X + Y ~ κανονική κατανομή και Χ, Υ είναι ανεξάρτητες (μη σταθερές) τότε αναγκαστικά Χ, Υ ~ κανονική κατανομή

Δεν έχει βρεθεί στοιχειώδης απόδειξη αυτού του αποτελέσματος, χωρίς να κάνει χρήση μιγαδικών (χαρακτηριστικές συναρτήσεις) και απασχόλησε ολόκληρο summer school Πιθανοτήτων φέτος (απ'ότι ξέρω έληξε άδοξα)

Σχετικός σύνδεσμος

https://encyclopediaofmath.org/wiki/L%C3%A9vy-Cram%C3%A9r_theorem

Η διαφορετικότητα κάνει τη διαφορά, χαράξτε το δικό σας δρόμο,

μπορεί να είναι δύσβατος, αλλά θα είναι δικός σας!

Μαθηματική Στατιστική Εαρινό 2021-22

Thu, 20 Jan 2022 12:25:38 +0300

Καλημέρα,

θα ξεκινήσω το μάθημα της Μαθηματικής Στατιστικής το εαρινό 2021-22.

Η ύλη και η οργάνωσή της θα είναι παρόμοια με πέρυσι το χειμερινό.

Οι διαλέξεις θα είναι 3ωρες κάθε Τρίτη και Πέμπτη 14.00-17.00.

Υπάρχει πλούσιο υλικό στην e-class στα έγγραφα, όπως επίσης και στα έγγραφα της ομάδας Χρηστών

Χειμερινό 2020-21. Στα έγγραφα μπορείτε να βρείτε επίσης της σημειώσεις των Διαλέξεων Χειμερινό 2020-21

τις οποίες θα ακολουθήσω, η αρίθμηση βέβαια θα είναι διαφορετική λόγω του ότι τώρα είναι 3ωρα, αλλά η σειρά

θα είναι ίδια. Μικροαλλαγές πάντα γίνονται, αλλά δεν θα είναι πάνω από 10%.

Οι διαλέξεις, εκτός απροόπτου, θα γίνονται δια ζώσης στην αίθουσα Γ21.

Καλή συνέχεια

αποτελέσματα εξετ. Ιουνίου 16+ πληροφορίες

Sun, 26 Jun 2016 21:18:01 +0300

Καλησπέρα,

τα αποτελέσματα των Πιθ. Ι είναι στην e-class. Συγχαρητήρια σε όσους προσπάθησαν, και ελπίζω να ανταμείφθηκαν για αυτό.

Όσοι επιθυμούν να μην κρατήσουν το βαθμό τους, θα πρέπει να μου στείλουν email με τη δήλωση, ΘΕΛΩ ΝΑ ΚΟΠΕΙ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΜΟΥ - Ονομα, Α.Μ. + φωτοτυπία ταυτ. ή τρίπτυχο. Αυτό ανεξάρτητα, αν έχουν γράψει ρήτρα στο γραπτό τους. Η προθεσμία είναι

μέχρι Πέμπτη 30/06 στις 12 το μεσημέρι. Διαφορετικά, ο βαθμός παραμένει ως έχει.

Για αναβαθμολόγηση, η προθεσμία είναι μέχρι Τετάρτη 29/06 στις 12 το μεσημέρι και μόνο αν υπάρχουν σοβαρές ενστάσεις.

Τα αποτελέσματα θα ανακοινωθούν την ίδια μέρα το βράδυ, και φυσικά θα ισχύσει ο βαθμός της αναβαθμολόγησης.

Σε κάθε περίπτωση, την Πέμπτη στις 12 το μεσημέρι κλειδώνουν οι βαθμοί.

Σ.Τ.

Θέματα + Λύσεις

Wed, 22 Jun 2016 12:36:40 +0300

Τα θέματα του Ιουνίου και ενδεικτικές λύσεις των θεμάτων είναι διαθέσιμα στα έγγραφα-θέματα εξετάσεων.

ΥΛΗ- TI EINAI EKTOΣ ΑΠΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Wed, 01 Jun 2016 14:00:01 +0300

ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ ΕΙΝΑΙ:

- ΑΥΤΑ ΠΟΥ ΗΔΗ ΓΡΑΦΕΙ ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ

-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ (βοηθάνε στην κατανόηση τεχνικών, αλλά μακριά απο εμάς οι παπαγαλίες)

-Μάθημα 8, ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑΣ (ανεξ.πειραμάτων τυχης + δεσμευμένη ανεξαρτησία)

-Μάθημα 9, Ασκηση 1 + Παρατήρηση Ασκ. 2

-Μάθημα 13, Διαισθητικές ερμηνείες μέσης τιμής (βοηθάνε στην κατανόηση, αλλά όχι εξετάσιμες)

-Μάθημα 19, ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΔΙΔΙΑΣΤ. Τ.Μ.(πολικές συντεταγμένες, Ιακωβιανή ορίζουσα, κτλ...)

-Μάθημα 26, ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΩΝ Τ.Μ. (εντός προφανώς η μέση τιμή και διασπορά εξαρτημένων)

- Μάθημα 31, Παράδειγμα κατανομής που δεν έχει ροπογεννήτρια, αλλά έχει ροπές οποιασδήποτε τάξης

Βαθμολογία Σεπτεμβρίου 2015

Sat, 10 Oct 2015 09:41:43 +0300

Καλημέρα, Οι βαθμοί είναι στην e-class

Για αναβαθμολόγηση στη β ομάδα πείτε μου μέχρι και Δευτέρα 12 Οκτώβρη

Αναβαθμολόγηση

Wed, 04 Mar 2015 00:00:00 +0300

Για Αναβαθμολόγηση των γραπτών της ομάδας Α στείλτε μου e-mail μέχρι Παρασκευή 6/3.

Για Σημειώσεις Μαθήματος

Tue, 23 Dec 2014 00:00:00 +0300

Oι σημειώσεις του Μαθήματος είναι διαθέσιμες στις Σημειώσεις των φοιτητών στην e-class.

Aν κάποιος δεν μπορεί να έχει πρόσβαση ας εποικοινωνήσει μαζί μου.

Kαλές γιορτές...

Σημειώσεις Μαθήματος

Tue, 28 Oct 2014 00:00:00 +0300

Οι σημειώσεις του Μαθήματος θα είναι κάθε εβδομάδα προσβάσιμες και στην ηλεκτρονική σελίδα του μαθήματος. Ευχαριστούμε θερμά την Ευαγγελία Τσομπανέλη. Οι σημειώσεις αυτές αναρτώνται πρώτα στην ηλεκτρονική τάξη των Σημειώσεων των φοιτητών. Ευχαριστούμε επίσης αυτούς που σκανάρουν τις σημειώσεις. Οι σημειώσεις αυτές δεν υποκαθιστούν ούτε την παρακολούθηση στο αμφιθέατρο, αλλά ούτε και την προσωπική μελέτη που πρέπει να γίνεται απο τα προτεινόμενα εγχειρίδια. Παρ'όλα αυτά συνιστούν μία σημαντική βοήθεια στα πλαίσια της προσπάθειας κατανόησης των πιο σημαντικών εννοιών που διδάσκονται σε αυτό το μάθημα.

Ασκήσεις στις Διαλέξεις 7-10

Tue, 28 Oct 2014 00:00:00 +0300

Καλημέρα, ανέβασα ένα ακόμα φυλλάδιο Ασκήσεων.

Καλή εξάσκηση σε όσους το επιθυμούν!

Ασκήσεις 2ης εβδομάδας

Fri, 17 Oct 2014 00:00:00 +0300

Ανέβασα 10 προτεινόμενες ασκήσεις που αφορούν το υλικό της 2ης εβδομάδας. Κατα καιρούς θα ανεβάζω επίσης μερικά έγγραφα (όπως σήμερα) για λάθη που δεν πρέπει να κάνουμε! Αν είστε σίγουροι οτι δεν κάνετε τέτοια λάθη, αφού τα διαβάσετε, απλά αγνοήστε τα. Καλό ΣΚ.

Σύνδεσμος για σημειώσεις Συνδυαστικής

Sat, 11 Oct 2014 00:00:00 +0300

Στο φάκελο Βοηθητικό Υλικό πρόσθεσα ένα σύνδεσμο που παραπέμπει σε Σημειώσεις και επιπλέον υλικό Συνδυαστικής απο την ηλεκτρονική τάξη του μαθήματος της Συνδυαστικής. Ευχαριστώ τον φοιτητή που μου το υπέδειξε. Όποιος ενδιαφέρεται μπορεί να ανατρέξει εκεί. Παρόλα αυτά σημειώνω οτι για το μάθημα αυτά που είναι εντελώς απαραίτητα καλύφθηκαν την Παρασκευή.

Ασκήσεις

Fri, 10 Oct 2014 00:00:00 +0300

Ανέβασα 10 προτεινόμενες ασκήσεις. Αφορούν το υλικό της 1ης εβδομάδας. Καλή εξάσκηση.