Μαθηματική Φυσική

Αλέξανδρος Καρανίκας, Φώτιος Διάκονος

Περιγραφή

Πρόκειται για μάθημα γενικής κατεύθυνσης που βρίσκεται στον κορμό του μεταπτυχιακού προγράμματος σπουδών του Φυσικού Τμήματος και διδάσκεται στο χειμερινό εξάμηνο. Αποσκοπεί στην εξοικείωση με τις μιγαδικές συναρτήσεις μιας μεταβλητής και στην κατανόηση των ιδιοτήτων τους που βρίσκουν άμεση εφαρμογή σε σημαντικά φυσικά προβλήματα.  Γίνεται, επίσης, συστηματική εισαγωγή στην τεχνική των συναρτήσεων Green και στη χρήση τους σε μια σειρά από θεμελιώδη φυσικά προβλήματα της ηλεκτροστατικής, του ηλεκτρομαγνητισμού και της κβαντικής μηχανικής (μη σχετικιστικής και σχετικιστικής). Συζητείται, τέλος, και το πρόβλημα των ολοκληρωτικών εξισώσεων, κυρίως, αυτών που συνδέονται με την κατασκευή συναρτήσεων Green σε μη τετριμμένα συστήματα με αλληλεπιδράσεις. Παρουσιάζονται τεχνικές προσέγγισης όπως τα ανάπτυγματα  von Neumann και Helmholtz.

Κωδικός: PHYS156
Σχολή - Τμήμα: Φυσικής » Μεταπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών

Θεματικές Ενότητες

Μιγαδικοί αριθμοί σε 2 και 4 διαστάσεις - quaternions. Συναρτήσεις μιγαδικής μεταβλητής. Σχέσεις Cauchy-Riemann.Αναλυτικές συναρτήσεις. Ανωμαλίες στο μιγαδικό επίπεδο. Σύμμορφες απεικονίσεις. Εφαρμογές στην Ηλεκτροστατική, Μαγνητοστατική και Ρευστομηχανική.

Ορισμός ολοκληρώματος μιγαδικής συνάρτησης. Θεώρημα Cauchy-Goursat. Ολοκληρωτικές σχέσεις Cauchy. Μετασχηματισμός Hilbert. Σχέσεις διασποράς. Κατάταξη ανωμαλιών μιγαδικών συναρτήσεων. Πλειότιμες συναρτήσεις, φύλλα Riemann. Ανάπτυγμα Taylor. Ανάπτυγμα Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα. Τεχνικές μιγαδικής ολοκλήρωσης και εφαρμογές τους. Αναλυτική Συνέχιση. Ασυπτωτικές Σειρές. Άθροιση Σειρών. Μέθοδος σαγματικού σημείου.

Ορισμοί, ιδιότητες και τρόποι κατασκευής. Eξισώσεις Helholtz και Poisson. Προβλήματα ηλεκτροστατικής. Κυματική εξίσωση. Aκτινοβολία κινουμένου φορτίου. Πρόβλημα Leinard-Wieckert. Εξίσωση Schroedinger. Ο ρόλος του διαδότη στην Κβαντική Μηχανική και η εξίσωση Liepmann-Schwinger. Εξίσωση Klein-Gordon. Σχετικιστικός διαδότης.

Συναρτήσεις Green σε συστήματα με αλληλεπιδράσεις. Ολοκληρωτικές εξισώσεις τύπου Fredholm και Helmholtz. Διαταρακτικοί υπολογισμοί. Σειρά Neumann. Θεωρία Διαταραχών Helholtz.

Ημερολόγιο

Ανακοινώσεις