Καλημέρα!
Για αυτούς που τελείωσαν οι διακοπές τους :(( ή θέλουν challenge για διακοπές :D
1) Υποθέτουμε ότι έχουμε δυνατότητα κατασκευής 3 ζαριών (τα Α,Β,Γ με 6 έδρες) που το καθένα μπορεί να έχει στις έδρες του τους αριθμούς από {1,...,6} με δυνατότητα επανάληψης, π.χ. 2 δυνατά ζάρια [1,1,3,3,3,6] [2,2,2,4,5,6]
Το ζάρι Β "κερδίζει" το Α αν Pr(Y > X) > Pr(X > Y), όπου Χ, Υ οι τυχ. μεταβλητές που εκφράζουν το αποτέλεσμα ρίψης των ζαριών Α και Β αντίστοιχα. Στο παράδειγμα που δόθηκε αν Α=[1,1,3,3,3,6], Β= [2,2,2,4,5,6],
τότε {Υ > Χ} έχει 6 + 6 + 3 + 3 + 3 = 21 στοιχειώδη ενδεχ. και {Χ > Υ} έχει 14 στοιχ. ενδεχ. (και 1 περίπτωση ισότητας)
άρα Pr(Y>X) = 21/36 > 14/36 = Pr(X>Y) και άρα το Β κερδίζει το Α ή γράφουμε Α < Β.
Challenges: Α) Φτιάξτε 3 ζάρια όπου Α < Β, Β < Γ, αλλά Γ < Α [δεν έχουμε μεταβατικότητα :(( ]
- B) Αν υποθετικά ζάρια A, B, Γ έχουν n έδρες με δυνατές ενδείξεις από {1,2,...,n}
π.χ. με 3 έδρες, [1,1,1], [1,1,2],[1,1,3], κτλ.. βρείτε το ελάχιστο n για το οποίο υπάρχουν Α,Β,Γ με
Α < Β, Β< Γ και Γ<Α
Γ) Αν "παίκτες" κάθονταν σε ένα τραπέζι κυκλικό, τότε θα ήταν όλοι χαρούμενοι να "κέρδιζαν" τον έναν
από τους 2 διπλανούς τους με κατάλληλη επιλογή ζαριού.
Μόλις φτιάξαμε παραπάνω κυκλικά τραπέζια με 3 παίκτες που όλοι είναι χαρούμενοι.
Μπορείτε να επεκτείνεται το τραπέζι και με άλλους παίκτες, π.χ. Α < Β < Γ < Δ < Α (κύκλος μήκους κ=4)
Πόσο μεγάλο μπορείτε να κάνετε τον κύκλο ? [πάρτε το n που σας αρέσει]
2) Θα σας φαινόταν ίσως εύκολο ή αδιανόητο να συμπεράνουμε ότι
αν X + Y ~ κανονική κατανομή και Χ, Υ είναι ανεξάρτητες (μη σταθερές) τότε αναγκαστικά Χ, Υ ~ κανονική κατανομή
Δεν έχει βρεθεί στοιχειώδης απόδειξη αυτού του αποτελέσματος, χωρίς να κάνει χρήση μιγαδικών (χαρακτηριστικές συναρτήσεις) και απασχόλησε ολόκληρο summer school Πιθανοτήτων φέτος (απ'ότι ξέρω έληξε άδοξα)
Σχετικός σύνδεσμος
https://encyclopediaofmath.org/wiki/L%C3%A9vy-Cram%C3%A9r_theorem
Η διαφορετικότητα κάνει τη διαφορά, χαράξτε το δικό σας δρόμο,
μπορεί να είναι δύσβατος, αλλά θα είναι δικός σας!
